2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1) 当0x +→时,若ln (12)x +α,1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小,则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( )(A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( )(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =,若()()f x xf '=ξ,则22limx x→=ξ ( )(A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂,则 ( ) (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得(D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得,最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a dbc -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量,则对任意常数,k l ,向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 ( )(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数,且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈,则(7)f =__________. (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数,则11(,)22dz =__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ,则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1,则a 的取值范围为_______.三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-,且()20y =,求()y x 的极大值与极小 值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数,(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y ∂∂+=+∂∂,若'(0)0,(0)0f f ==,求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续,且()f x 单调增加,0()1g x ≤≤.证明: (I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+,定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L 1()(()),n n f x f f x -=L ,记n S 是由曲线()n y f x =,直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积,求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂,且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系; (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1) 当0x +→时,若ln (12)x +α,1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小,则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α,故1>α.当0x +→时,211(1cos )~2x x -ααα是比x 的高阶无穷小,所以210->α,即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项:11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==,所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( )(A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-,则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥,则()0F x ''≤,()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==,所以当[0,1]x ∈时,()0F x ≥,从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( )(A)50(B)100(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =,若()()f x xf '=ξ,则22limx x→=ξ ( )(A)1 (B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ,所以2()()x f x f x -=ξ22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂,则 ( ) (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得,最大值在D 的边界上取得 【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值,则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列00000000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量,则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα,()123B =ααα,1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关,则()()()2r A r BC r C ===,故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α,则12,αα线性无关,但此时123,,ααα却线性相关.综上所述,对任意常数,k l ,向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数,且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈,则(7)f =__________. 【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈,且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-,又()22f x x x c =--+且为奇函数,故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-,又()f x Q 的周期为4,()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数,则11(,)22dz =__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导 22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z =故1111(,)(,)222211,22z z xy∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ,则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ,于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1,则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法:()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1,所以240a -≥,故22a -≤≤.三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)limlim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-,且()20y =,求()y x 的极大值与极小 值.【解析】 由221x y y y ''+=-,得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程,解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时,1x =±,且有:1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'><所以()y x 在1x =-处取得极小值,在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即:()y x 的极大值为1,极小值为0. (17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称,满足轮换对称性,则:D D=12D D I dxdy ∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰π 2201211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ 34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数,(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂,若'(0)0,(0)0f f ==,求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂, ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂,代入得, ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=,令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+,代入方程得1,04a b =-=,特解*14y t =-则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==,得1211,1616c c ==-, 则()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,且()f x 单调增加,0()1g x ≤≤,证明:(I )0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II )()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】(I )由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤Q ,()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xag t dt x a ∴≤≤-⎰(II )直接由()01g x ≤≤,得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰(II )令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由(I )知()()0uag t dt u a ≤≤-⎰()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增,所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴,单调不减,()()0F u F a ∴≥=取u b =,得()0F b ≥,即(II )成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+,定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ,记n S 是由曲线()n y f x =,直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积,求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x xf x f x f x f x x x x nx====++++L 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰ 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂,且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ,从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-,当1y =-时,1x =或2x =,从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系; (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTT e e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭(123,,k k k 为任意常数)(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L M M M M L 与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ML L M ,()12001B n ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LM =,则A 的特征值为n ,0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ;()1r A =,故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量,即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量;故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭O . B 的特征值为n ,0(1n -重),同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量,故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性,A 相似于B .(资料素材和资料部分来自网络,供参考。