定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
第五章 窄带随机过程
内容： 一、信号的表示方法及希尔伯特变换 二、窄带随机过程的表示方法 三、窄带随机过程的的有关概率密度
对于一个平稳的随机过程，如果 其功率谱密度在频率轴的某个区域之 外全部为0，则称其为限带随机过程。 根据实际功率谱分布区域的不同，可 以分为低通过程和带通过程两大类。
如果平稳随机过程X(t)的功率谱 密度为：
定义： 在区间(-∞<t<∞)内给定实值函数
x(t)，其希尔伯特变换记做 xˆ(t) 或者 H[x(t)]，有：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
1 x(t ) d
希尔伯特变换的性质
1. 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。1/(πt)的线性系统。即：
sˆ(t) H[s(t)]
对于正弦型信号：
s(t)=acos(ω0t+θ) 它的希尔伯特变换为：
sˆ(t) a sin(0t )
和前面比较可以看出，正弦型信号的复 指数函数与解析形式表示的复信号是完 全相同的。但是其它实信号并不一定是 这样。
三、高频窄带信号的复数表示方法
高频窄带信号是指信号的频谱限制 在载波频率±ω0附近的一个频带范围内， 且此范围远远小于载波频率。可以表示 为：
xˆ(t) x(t) 1
t
该系统的传输函数为：
H
(
)
j
sgn()
j,
j,
0 0
进一步得到其幅频响应和相频响 应为：
| H () | 1
(
)
/ 2,
/ 2,
0 0
上式表明，希尔伯特变换相当于一个 90°的移相器。它对所有频率分量的 幅度响应为1，对正频率分量（包括0 频率）移相-90° ，对负频率分量移相
~se
(t
)
的频谱为：
X~e () A~(
0
)
可以得到：
X~e () A~( 0) 2X () A~*( 0)
说明用复指数形式来表示窄带信号的时 候，其实部就是原来的实窄带信号，但 是其频谱发生了改变。当窄带信号的带 宽远远小于载波频率的时候，误差可以 近似忽略不计。
5.1.2 希尔伯特变换
SX () 0S,X (),
| | c
others
则称X(t)为低通过程。
SX(ω)
-ωc 0 ωc ω
如果X(t)的功率谱密度为：
SX () 0S,X (),
0 c | | 0 c
others
则称X(t)为带通过程。
SX(ω)
-ω0-ωc -ω0 -ω0+ωc
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
如果ωc<< ω0，则称X(t)为高频 窄带随机过程，简称窄带过程。有 时也称为准单色过程。目前通信中 常用的高频调制信号就属于窄带随 机过程。
5.1 信号的表示方法
我们实际观测到的随机信号通常都 是实随机过程，是物理存在的。但是在 某些情况下，把它表示成复数形式即复 随机过程，对于分析问题更方便一些。 我们可以把确定信号看作是一个特殊的 复随机信号。
5.1.1 复信号
一、正弦信号的复数表示方法 无线电技术中最常用的基本信号就
是正弦信号。包括正弦型和余弦型，它 们的复数表示形式统称为复正弦信号。
简单的正弦信号可以表示为： s(t)=acos(ω0t+θ)=acosφ(t)
其中φ(t)＝ω0t+θ，a、 θ、 ω0都为实常
数。 s(t)为实信号，是t的实值函数。
s(t)=A(t)cos[ω0t+θ(t)] 式中的A(t)和θ(t)分别代表信号的振幅和 相位分量，它们都是低频限带信号。和 载波相比，变化要缓慢得多。
信号表达式还可以写成：
s(t)=sc(t)cosω0t+ ss(t)sinω0t 其中 sc(t) =A(t)cos[θ(t)]
ss(t) =A(t)sin[θ(t)] 两者相互正交，也都是低频限带信号。
窄带信号表示成复信号也是有两种 方法：复解析表示法和复指数表示法。
1. 复解析表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的解析信号 ~sH (t) 为：
~sH (t) s(t) jsˆ(t) 式中 sˆ(t) H[s(t)]。
|X(ω)|
-ω0-ωc -ω0 -ω0+ωc
X~() a~ ( 0)
说明复信号 ~s (t) 只包含正的频率成分， 而强度为X(ω)的两倍。
~s (t) 也可以分解为： ~s (t) s(t) js ' (t)
其中s’(t)=asin φ(t)=asin(ω0t+θ)，为与s(t) 正交的分量。
二、任意信号的复数表示方法
为了设简s化(t)分为析任，意用的复实信信号号~s，(t频)来谱表为示X，(ω它)。 必须满足：