在平方律包络检波器输入端加一窄带随机电压信号，其包络
A(t ) 服从瑞利分布
At2 f A ( At ) 2 exp 2 ( At 0) 2 2 a 2 求在 Y (t ) A (t ) 时，检波器 Y (t ) 输出的概率密度、均值 2 At
和方差。 解：易知 A2 (t ) 满足指数分布，且均值为 2 2 因此 Y (t ) 也满足指数分布，且均值为 a 2 2
2 由于 V 2 (t ) 满足指数分布，且均值为 2 X 2 易知 Z (t ) 也满足指数分布，且均值为 b X
Z (t ) 的概率密度为
z f Z ( z ) 2 exp 2 b X b X 4 Z (t ) 的方差为 b2 X 1
, z 0
9
5.19

2

2
6
5.14
2 2 x 2 r ( ) x x x 1 t t t t f ( xt , xt ) exp 2 2 2 2 2 [1 r ( )] 2 1 r ( ) yt2 2r ( ) yt yt yt2 1 f ( yt , yt ) exp 2 2 2 2 2 [1 r ( )] 2 1 r ( )
3
5.5
设一个线性系统输入为 X (t ) 时，相应的输出为 Y (t ) 。证明 ˆ (t ) ，则相应的输 若该系统的输入为 X (t ) 的希尔伯特变换 X
ˆ (t ) 。 出为 Y (t ) 的希尔伯特变换 Y
解：设线性系统的冲激响应为 h (t ) 有 Y (t ) X (t ) h(t )
为零均值高斯过程，因此同相分量和正交分量相互独立， 得
f ( xt , xt , yt , yt ) f ( xt , xt ) f ( yt , yt )
r ( ) rX ( ) rY ( ) RX ( ) RY ( )
令同相分量和正交分量的归一化自相关函数为
求 Z (t ) 的概率密度、均值和方差。 解：
Y (t ) bX 2 (t ) bV 2 (t ) cos2 [ct (t )] 1 2 bV (t ){cos[2ct 2 (t )] 1} 2 1 2 Z (t ) bV (t ) 经过低通滤波器之后 2
8
5.18
RX ( ) RX ˆ ( ) jRXX ˆ ( ) jRXX ˆ ( ) ˆ ( ) jR ˆ ( ) R ( ) R ( ) jR
X X X X
ˆ ( )] 2[ RX ( ) jR X
2
5.4
ˆ (t )][ X (t ) jX ˆ (t )]} E[Z (t ) Z (t )] E{[ ( ) jRXX ˆ ( ) ˆ ( ) jR ˆ ( ) R ( ) R ( ) jR
则
f ( xt , xt , yt , yt ) f ( xt , xt ) f ( yt , yt )
xt2 2r ( ) xt xt xt2 yt2 2r ( ) yt yt yt2 1 2 4 exp 2 2 2 4 [1 r ( )] 2 [1 r ( )]
Y (t ) 的概率密度为 f ( y ) Y
4 4 Y (t ) 的方差为 a
y exp 2 2 , 2 2 a a 1
y0
10
为 2 B 。求滤波器输出的窄带过程 n (t ) 和它的同相及正交分 解：可知白高斯噪声通过带通滤波器后的功率谱为两个矩阵
脉冲，因此
Rn ( ) N0 BSa(2 B )(e j 2 fc e j 2 fc ) N 0 sin 2 B cos 2 f c 2 N0 BSa(2 B )cos 2 fc ˆ ( )sin 2 f Rnc ( ) Rns ( ) Rn ( )cos 2 fc R n c N 0 sin 2 B N 0 sin 2 B N 0 sin 2 B 2 2 cos 2 f c sin 2 f c 5
7
5.18
一检波器由平方律检波器和理想低通组成。其中，平方律检 波器的传输特性为 y bx 。设输入信号 X (t ) 为一窄带正态 噪声，且可表示为 X (t ) V (t )cos[ct (t )] ，其概率密为
2
x2 f X ( x) exp 2 2 X 2 X 1
1 ˆ 当输入为 X (t ) X (t ) 时 t
输出为
1 1 1 ˆ ˆ (t ) X (t ) h(t ) X (t ) h(t ) X (t ) h(t ) Y (t ) Y t t t
4
5.11
设功率谱密度为 N0 / 2 的零均值白高斯噪声通过一个理想带 通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为 fc ，带宽 量的自相关函数 Rn ( ) 、 Rnc ( ) 和 Rns ( ) 。
(2)证明 E[ Z (t ) Z (t )] 0
(3)求 Z (t ) 的功率谱密度（假定 X (t ) 的功率谱密度为 GX ()）
ˆ (t )][ X (t ) jX ˆ (t )]} 解：E[Z (t )Z * (t )] E{[ X (t ) jX
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1
5.4
ˆ (t ) 设 X (t ) 的解析信号为 Z (t ) X (t ) jX
ˆ ( )] (1)证明 E[ Z (t ) Z * (t )] 2[ RX ( ) jR X
5.14
考虑窄带高斯过程 n(t ) X (t )cos ct Y (t )sin ct ，假定功 率谱密度对称于载频 c ，求概率密度 f ( xt , xt , yt , yt ) 。 解：当窄带随机过程的功率谱密度对称于载频时，任意时刻
的同相分量和正交分量之间相互正交，且窄带随机过程
X X X X
0
ˆ ( )] RZ ( ) E[ Z (t ) Z * (t )] 2[ RX ( ) jR X
因此
GZ () 2{GX () j[ j sgn()GX ()]} 2[GX () sgn()GX ()] 4GX ()U ()