[ 3 ] YAN G J M , KIN J K. Sliding mode control for trajectory tracking of nonholonomic wheeled mobile robots[J ] . IEEE Trans on Rob and Autom ,1999 ,15 (3) :5782587.
1 移动机器人轨迹跟踪模型
本文研究的 WMR 两个较大的后轮为驱动轮 ,前端有一 个可以绕固定轴自由旋转的小脚轮 ,如图 1 所示.
图 1 移动机器人模型 Fig. 1 The mode of WMR
WMR 的状态由其质心 C 在 X - Y 坐标系中的位置及航向θ来表示 ,令 p = ( x yθ) T , q = (νω) T ,其
θr = ωrt = t .
取 δ1 = δ2 = 0. 02 , k1 = 3. 0 , k2 = 6. 0 ,位姿误差初始值为[3 0 0 ] ,仿真结果如图 3 ～ 5 所示.
图 3 位姿误差变化曲线图 Fig. 3 Time history of t he posture errors
(νr
si
nθe
+
hωrco sθe)
+
k2 |
s2
s2 | + δ2
,
(5)
1 + 55αye xe + h
其中
5α 5νr
=
-
1
+
ye
(νrye)2来自,5α 5 ye
=
1
+
νr (νrye)
2
.
至此完成了 WMR 的滑模轨迹跟踪控制器的设计 ,上述结果以定理的形式表达如下 :
定理 1 对 Π t ∈[0 , + ∞) ,在滑模轨迹跟踪控制律 (5) 的作用下 ,由方程式 (3) 描述的运动学轨迹
WMR ( Wheeled Mobile Robot) 具有广阔的活动空间 ,被广泛的应用于工业 、农业 、医疗 、水下 、空间 、采 掘 、服务 、娱乐 、军事等领域 ,把人们从繁重的体力劳动和危险的工作环境中解放出来 ,从而提高了劳动生 产率 ,产生了巨大的经济效应.
由于 WMR 是典型的高度非线形的非完整力学系统 ,不满足 Brockett 光滑镇定的必要条件[1 ] ,因而不 能用光滑或连续的时不变状态反馈来实现其轨迹跟踪控制 ,这便使得不连续的滑模跟踪控制方法更具吸 引力[2～5 ] . 文献[ 6 ]采用基于积分 backstepping 时变状态反馈方法 ,引入具有双曲正切特性的虚拟反馈量 , 设计轨迹跟踪控制方法 ,并且利用 Lyapunov 方法证明系统的全局稳定性 ,并实现了轨迹跟踪控制. 文献 [ 7 ,8 ]基于后退 (backstepping) 方法的思想设计了具有全局渐进稳定的跟踪控制器 ,也实现了轨迹跟踪控 制. 以上文献中 ,控制律的研究针对的都是标准的两轮驱动的移动机器人 ,即质心和几何中心重合的移动 机器人. 在大多数情况下 ,WMR 的质心和几何中心是不重合 的. 文献[ 9 ]针对模型的质心和几何中心不重合的情况 ,利用 时变连续控制律解决了移动机器 、人的镇定控制问题 ,并且利 用自适应技术解决了 2 者之间距离未知时的镇定问题 ,但没 有实现轨迹的跟踪控制.
ki |
si
si | + δi
,
i = 1 ,2.
其中 δi 为正小数.
令 α = arctg (νrye) ,由式 (3) 和式 (4) 得
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云南大学学报 (自然科学版) 第 29 卷
s1
-
k1 |
s1
s1 | + δ1
xe
yeω - ν +νrcosθe - hωrsinθe
ye = - xeω - hω +νrsinθe + hωrcosθe .
(3)
θ
ωr - ω
WMR 运动学模型的轨迹跟踪即寻找控制输入 q = (ν
图 2 位姿误差示意图 Fig. 2 The sketch map of posture error
ω) T , 使对任意的初始误差 ,系统式 (3)
摘要 :对质心与几何中心不重合的轮式移动机器人轨迹跟踪问题进行了研究. 分析了轮式移动机器人运动 学的数学模型 ,并在反演 (backstepping) 控制算法的基础上设计了变结构控制的切换函数 ,由此构造了具有全 局渐进稳定性的滑模跟踪控制器. 仿真结果表明了该方法的有效性和正确性.
关键词 :轮式移动机器人 ;轨迹跟踪 ;反演 ;滑模变结构控制 中图分类号 : TP 24 文献标识码 :A 文章编号 :0258 - 7971 (2007) S1 - 0064 - 04
S =
s1
xe
s2 = θe + arctg (νrye)
.
(4)
通过设计滑模控制器 ,使 s1 →0 , s2 →0 ,即实现 xe 收敛到零且θe 收敛到 - arctg (νeye) ,从而实现 ye →
0.
3 滑模跟踪控制器设计
取等速趋近律[12 ] ,令
si = -
[ 4 ] YOUN G K D ,U T KIN V I ,OZGUN ER U . A control engineer’s guide to sliding mode[J ] . IEEE Trans on Contr Syst Tec , 1999 ,7 (3) :3282342.
[ 5 ] Sira Ramirez H. On t he dynamical sliding mode control of nonlinear systems[J ] . Int J of Control ,1993 ,57 (5) :1 03921 061. [ 6 ] 徐俊艳 ,张培仁. 非完整轮式移动机器人轨迹跟踪控制研究[J ] . 中国科学技术大学学报 ,2004 ,34 (3) :3342380. [ 7 ] 吴卫国 ,陈辉堂 ,王月娟. 移动机器人的全局轨迹跟踪控制[J ] . 自动化学报 ,2001 ,21 (3) :3262331. [ 8 ] 叶涛 ,侯增广 ,谭民 ,等. 移动机器人的滑模轨迹跟踪控制[J ] . 高技术通讯 ,2004 ,11 :71274. [ 9 ] 李胜 ,马国梁 ,胡维礼. 一类不确定非完整移动机器人的时变自适应镇定[J ] . 机器人 ,2005 ,27 (1) :10219. [ 10 ] KRISTIC M , KAN ELLA KOPOUS I , KO KO TOV IC P V. Nonlinear and adaptive control design[ M ] . New York :John Wi2
S=
= s2
-
k2 |
s2
s2 | + δ2
= θe + 55νανr r + 55αyeye
=
ωr - ω + 55νανr r + 55αyeye
.
经整理 ,得到控制律为
yeω +νrcosθe -
hωrsinθe + k1 |
s1
s1 | + δ1
q=
ν ω=
ωr
+
55νανr r
+
5α 5 ye
图 5 控制量变化曲线图 Fig. 5 Time history of t he control flow
参考文献 :
[ 1 ] BROC KETT R W. Asymptotic stability and feedback stabilization[ C] . In : Differential Geometric Control Theory ,Burkhaus2 er ,Boston :1983 ,1812191.
Ξ 收稿日期 :2007 - 03 - 21 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (60362001) . 作者简介 :程俊林 (1982 - ) ,男 ,湖北人 ,硕士生 ,主要从事机器人智能控制方面的研究. 通讯作者 :赵东风 (1957 - ) ,男 ,湖北人 ,教授 ,博士生导师 ,主要从事随机多址通信系统和通信工程方面的研究.
x
cosθ - hsinθ ν
y = sinθ hcosθ ω .
(1)
θ
0
1
考虑对具有位姿指令 p r = ( x r y rθr) T 和速度指令 qr = (νrωr) T 的参考小车的轨迹跟踪 ,如图 2 所示. WMR 从位姿 p = ( x yθ) T 移动到位姿 pr = ( x r y rθr) T ,移动机器人在新坐标 系 Xe - Ye 中的坐标为 pe = ( xe yeθe) T ,其中 θe = θr - θ.
[ 2 ] HU Y M ,CHAO H M. Hif h2order sliding mode control of nonlinear control systems wit h application to mobile robots. Ad2 vances in Variable Structure Systems :Analysis , Integration and Applications[ C] . Singapore : World Scientific ,2000 ,1252134.
在该控制输入作用下
,
pe
(
xe
yeθe)
T
有界
, 且li m t →∞
‖(
xe
yeθe)
‖T
=
0.
2 切换函数的设计
基于反演 (Backstepping) 的滑模切换函数的设计过程如下
当
xe
= 0 时 ,考察部分 L yapunov 函数 V y