V=
1 2
x
2 e
+
1 2
y
2 e
+
2
1-
co s
λΗe 2
.
(5)
之所以在 L yap unov
函数中选取
co s
λΗe 而不是 2
co sλΗe,
是因为我们的目标要将
λΗe
控制到零
角度, 即在集合 λΗe λΗe= 2k Π, k ∈Z 中; 否则将进入平衡点 λΗe Ηλe= k Π, k ∈Z . 由 (5) 式结合
Key words M ob ile robo t s, t rajecto ry t rack ing , back stepp ing m ethod, GA S.
1 引言
由于存在非完整约束, 使得移动机器人的控制具有挑战性. 移动机器人控制主要包括 跟踪控制和点镇定控制. 由于移动机器人不满足B rocket t 光滑镇定的必要条件[1], 因此对 于点镇定人们只能寻求不连续控制律、时变控制律或混合控制律[2]. 之所以将跟踪控制和 镇定控制独立考虑, 是因为在跟踪控制时, 要求移动机器人的速度不能为零, 即移动机器 人始终处于运动过程中[3, 4]. Kanayam a 等[5]利用 L yap unov 函数设计出轨迹跟踪控制律,
方程 (3) 对时间求导, 可得
V = x exαe + y eyαe +
sin
λΗe 2
Η
Ηe
=
x e (Ξy e -
v + v rco sΗe) +
y e (-
Ξx e +
v r sinΗe) +
sin
λΗe 2
Ξr -
Ξ-
99vΑrvαr -
9Α 9y e
(
-
Ξx e + v r sinΗe)
9Α 9y ev
r
sin
Ηe
+
2y ev rco s
λΗe 2
+
Α
.
将控制律 (4) 代入上式, 可得
V= -
c1x
2 e
-
y ev r sin [ a rctan (y ev r) ] -
c2 sin2
λΗe 2
≤ 0.
(6)
只要 v r, vαr 和 Ξr, Ξαr 在[ 0, ∞) 有界, 则由 (4) 式可知控制量 v 和 Ξ 有界. 并且由 (6) 式可知
-
a rctan (v ry e) 可使 y e 收敛. 因此, 只要 x e
收敛到零且 Ηe 收敛到 Α, 则 y e 自然收敛到零 (由定义可知此时 Α也收敛到零) , 这正是后退
设计方法的思想体现. 于是, 我们的工作实际上成为设计 v 和 Ξ 使得 x e→0 且 Ηe→Α. 为
此, 引入误差变量 λΗe= Ηe- Α= Ηe+ a rctan (v ry e) , 取 L yap unov 函数
B rocket t[1]理论相符. 正因为如此, 必须将移动机器人跟踪与点镇定控制独立研究.
4 仿真结果
就 以 上 所 提 控 制 律, 我 们 用
表 1 跟踪控制仿真参数
M A TLAB 对移动机器人系统进行了 仿真研究. 为了验证误差收敛的全局 特性, 针对不同的初始条件和不同的 参考输入分别作了仿真, 结果表明本 文设计的全局控制器有效. 控制器的
3 期
吴卫国等: 移动机器人的全局轨迹跟踪控制
329
跟踪误差
x
e,
y e,
λΗe
一致有界;
进一步若
v r≠0,
有 lim x t→∞
e=
0,
lim
t→∞
y
e
=
0
和
lim
t→∞
λΗe =
2k Π,
(k ∈
Z ).
由定义可知,
lim
t→∞
Ηe =
lim
t→∞
[
λΗe -
a rc tan
(v ry
e)
2 问题的提出
对轮式移动机器人, 其运动学方程为
xα= v co sΗ,
yα= v sinΗ,
(1)
Η= Ξ. 上式中 (x , y ) 为移动机器人的位置, Η为其方向角, 即前进方向与 X 轴夹角; v , Ξ 分别为移 动机器人的线速度和角速度, 在运动学模型中它们是控制输入. 本文所考虑的轨迹跟踪为 移动机器人对具有位姿 (x r, y r, Ηr) T 和速度 v r, Ξr 的参考小车的跟踪, 如图 1 所示. 因此, 可 得到在移动机器人坐标内描述的位姿误差为[ 5 ]
Abstract T h is paper concern s t rajecto ry t rack ing con t ro l of m ob ile robo t s. In o r2 der to overcom e the local stab ility resu lted from linearizat ion design m ethods, a global asym p to t ically stab le ( GA S ) con t ro ller is designed u sing back stepp ing m ethod. T h is m ethod b reak s dow n non linear system s in to low dim en sional system s and sim p lifies the con t ro ller design u sing virtual con t ro l inpu t s and part ial L yapunov funct ion s. T he stab ility of the system is easily p roven via the L yapunov funct ion. A bundan t sim u lat ion resu lt s validate the theo ret ical analysis.
关键词 移动机器人, 轨迹跟踪, 后退方法, 全局稳定.
GLO BAL TRAJECTO RY TRACK ING CO NTROL O F MO B IL E RO BO TS
W U W ei2Guo CH EN H u i2T ang W AN G Yue2J uan
(D ep t. of E lectrica l E ng ineering , T ong j i U n iversity , S hang ha i 200092)
],
又由lim y t→∞
e=
0,
则
lim
t→∞
Ηe =
lim
t→∞
λΗe =
2k Π(k ∈
Z ) , 该式与tl→im∞Ηe=
0 等价.
因此,
实际上有lim ‖ t→∞
(x
e,
y
e,
Ηe)
T
‖=
0.
说 明. 在跟踪控制中, 为保证全局渐近稳定, 从 (6) 式中看出要求 v r ≠0, 这一点与
仿真结果
图2 图3 图4 图5
初始条件 (x , y , Η) (1, - 1, Π 6) (10, - 5, Π 2) (- 0. 5, 0. 5, Π 8) (8, - 6, - Π 3)
期望速度 (v r, Ξr) (2, 0) (2, 0) (2, 1) (2, 1)
控制器参数 (c1, c2) (5, 5) (5, 5) (5, 5) (5, 5)
λΗe 2
,
(4)
其中 λΗe= Ηe+ a rctan (v ry e) , Α= - a rctan (v ry e).
证 明. 由位姿误差微分方程 (3) 的第二个方程可以看出, 当 x e = 0 时, 对部分 L ya2
p unov 函数V y =
1 2
y
2 e
考察.
由引理可知, Ηe=
Α=
328
自 动 化 学 报
27 卷
tanx ) < 0, 得 Υ(x ) > 0. 由此引理, 可给出下面的移动机器人运动学模型的全局轨迹跟踪控制律. 定理. 设Π t∈[ 0, + ∞) , v r, vαr 和 Ξr, Ξαr 有界, 则在控制律 (4) 的作用下, 由方程 (3) 描
述的运动学跟踪误差全局一致有界,
xe
co sΗ sinΗ 0 x r - x
y e = - sinΗ co sΗ 0 y r - y ,
(2)
Ηe 其位姿误差微分方程描述为
0
0 1 Ηr - Η
xαe = Ξy e - v + v rco sΗe,
yαe = - Ξx e + v r sinΗe,
Hale Waihona Puke (3)Ηe = Ξr - Ξ.
从以上分析, 可将移动机器人运动
采样周期均为 T = 10m s, 各种初始条件下的控制器参数和期望速度如表 1 所示. 图 2 和
图 3 为期望小车直线运动分别在小误差和大误差初始条件下的跟踪结果, 图 4 和图 5 为
期望小车圆周运动分别在小误差和大误差初始条件下的跟踪结果. 从图中误差曲线可以
初始位姿 (1, - 1, Π 6) , 期望速度 (2, 0) 图 2 运动学跟踪结果
1) 国家自然科学基金和上海市自然科学基金资助课题. 收稿日期 1998212207 收修改稿日期 1999207221
3 期
吴卫国等: 移动机器人的全局轨迹跟踪控制