第四讲 立体几何题型归类总结一、考点分析1.棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★底面为矩形底面为正方形2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
3.球 球的性质:①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ★②r=d 、球的半径为R 、截面的半径为r )★球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长方体,球与正方体等的内接与外切.注:球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式:2344,3S R V R ππ==球球(其中R 为球的半径)1.求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒:解题步骤:一找(作):利用平移法找出异面直线所成的角;(1)可固定一条直线平移另一条与其相交;(2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。
常用中位线平移法 二证:证明所找(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角)。
常需要证明线线平行; 三计算:通过解三角形,求出异面直线所成的角;2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒:关键找“两足”:垂足与斜足 解题步骤:一找:找(作)出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理的应用);二证:证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角)(常需证明线面垂直);三计算:常通过解直角三角形,求出线面角。
3求二面角的平面角[]0,θπ∈解题步骤:一找:根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角; 二证:证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法); 三计算:通过解三角形,求出二面角的平面角。
俯视图二、典型例题 考点一:三视图1.一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 第1题2.若某空间几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积是________________.第2题 第3题3.一个几何体的三视图如图3所示,则这个几何体的体积为 .4.若某几何体的三视图(单位:cm )如图4所示,则此几何体的体积是 .第4题 第5题22侧(左)视图22 2 正(主)视图 3俯视图1 12 a5.如图5是一个几何体的三视图,若它的体积是33,则 a .6.已知某个几何体的三视图如图6,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是 .7.若某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则此几何体的体积是 3cm 8.设某几何体的三视图如图8(尺寸的长度单位为m ),则该几何体的体积为_________m 3。
第7题 第8题9.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为_________________.图92020正视图20侧视图10 1020俯视图223221俯视图正(主)视图侧(左)视图232210.一个三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如图10所示(单位cm ),则该三棱柱的表面积为_____________.图10 11. 如图11所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为_____________.图图11 图12 图1312. 如图12,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那么几何体的侧面积为_____________.13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形,主视图与左视图是边长为2的正三角形,则其表面积是_____________.14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: cm ), 则此几何体的表面积是_____________.图14 15.一个棱锥的三视图如图图9-3-7,则该棱锥的全面积(单位:2cm )_____________.正视图 左视图 俯视图图15正视图 俯视图俯视图侧视图正视图33416.图16是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是_____________.图16 图1717.如图17,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为______________.18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示,则这个棱柱的体积为______________. 图18考点二 体积、表面积、距离、角注:1-6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角1. 将一个边长为a 的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了___________.2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________. 3.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为5,那么它的体积为_______________.4.正棱锥的高和底面边长都缩小原来的21,则它的体积是原来的______________. 5.已知圆锥的母线长为8,底面周长为6π,则它的体积是 . 6.平行六面体1AC 的体积为30,则四面体11AB CD 的体积等于 .7.如图7,在正方体1111ABCD A B C D 中,,E F 分别是11A D ,11C D 中点,求异面直线1AB 与EF 所成角的角______________.8. 如图8所示,已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2,底面边长为3,E 是SA 的中点,则异面直线BE 与SC 所成角的大小为_____________.俯视图 正(主)视图 侧(左)视图2 32 2第8题 第7题9.正方体''''ABCD A B C D -中,异面直线'CD 和'BC 所成的角的度数是_________________.10.如图9-1-3,在长方体1111ABCD A B C D -中,已知13,AB BC BC CC ==,则异面直线1AA 与1BC 所成的角是_________,异面直线AB 与1CD 所成的角的度数是______________图1311. 如图9-1-4,在空间四边形ABCD 中,AC BD ⊥ AC BD =,,E F 分别是AB 、CD 的中点,则EF 与AC 所成角的大小为_____________. 12. 正方体1AC 中,1AB 与平面11ABC D 所成的角为 .13.如图13在正三棱柱111ABC A B C -中,1AB AA =,则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正弦值为_______________.14. 如图9-3-6,在正方体ABCD —A1B1C1D1中,对角线BD1与平面ABCD 所成的角的正切值为_______________.图9-3-6 图9-3-1 图715.如图9-3-1,已知ABC ∆为等腰直角三角形,P 为空间一点,且52,AC BC PC AC ==⊥,PC BC ⊥,5PC =,AB 的中点为M ,则PM 与平面ABC 所成的角为16.如图7,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心,则O 到平面AB C 1D 1的距离为__________________.17.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是4cm ,则该球的体积是______________. 18.长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3, 11=AA ,则顶点A 、B 间的球面距离是_________________.19.已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =213,AC =8AD =,则,B C两点间的球面距离是 .20. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是_________________.21.△ABC 的顶点B 在平面a 内, A 、C 在a 的同一侧,AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°,若AB=3,BC=24 ,AC=5,则AC 与a 所成的角为_________.22.矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D , 则四面体ABCD 的外接球的体积为_____________. 23.已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =213,AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是 .24.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ . 25.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点,SA ABC ⊥平面,AB BC ⊥,1SA AB ==,2BC =,则球O 表面积等于____________.ACPA 1CBAB 1C 1D 1DO26.已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为323π,则正方体的棱长为_________. 27. 一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为_________.1. 正方体1111ABCD-A B C D ,1AA =2,E 为棱1CC 的中点. (Ⅰ) 求证:11B D AE ⊥;(Ⅱ) 求证://AC 平面1B DE ; (Ⅲ)求三棱锥A-BDE 的体积.2.已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点.求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1AC ⊥面11AB D .3.如图,PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别是AB 和PC 的中点.(Ⅰ)求证:MN ∥平面PAD ;(Ⅱ)求证:MN CD ⊥;(Ⅲ)若45PDA ∠=,求证:MN ⊥平面PCD .NM PDCBA A11A E CD 1ODB AC 1B 1A 1C4. 如图(1),ABCD 为非直角梯形,点E ,F 分别为上下底AB ,CD 上的动点,且EF CD ⊥。
现将梯形AEFD 沿EF 折起,得到图(2)(1)若折起后形成的空间图形满足DF BC ⊥,求证:AD CF ⊥;(2)若折起后形成的空间图形满足,,,A B C D 四点共面,求证://AB 平面DEC ;5.如图,在五面体ABCDEF 中,FA⊥平面ABCD,AD//BC//FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点, N 为AE 的中点,AF=AB=BC=FE=12AD (I) 证明平面AMD ⊥平面CDE ; (II) 证明//BN 平面CDE ;6.在四棱锥P -ABCD 中,侧面PCD 是正三角形, 且与底面ABCD 垂直,已知菱形ABCD 中∠ADC =60°, M 是P A 的中点,O 是DC 中点. (1)求证:OM // 平面PCB ; (2)求证:P A ⊥CD ;(3)求证:平面P AB ⊥平面COM .ABCDE F图(1)EBCF DA图(2)A FEBC DMN PDABCOM7.如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .(1)证明P A //平面EDB ;(2)证明PB ⊥平面EFD8.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长是3,侧棱长是3,点E ,F 分别在BB 1,DD 1上,且AE ⊥A 1B ,AF ⊥A 1D .(1)求证:A 1C ⊥面AEF ;(2)求二面角A-EF-B 的大小;(3)点B 1到面AEF 的距离.考点五 异面直线所成的角,线面角,二面角1.如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形,PD ⊥底面ABCD ,PD =AD .求证:(1)平面P AC ⊥平面PBD ;(2)求PC 与平面PBD 所成的角;A B C D P E F2.如图所示,已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2,底面边长为3,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成角的大小为 _____________.3.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1底面边长为1,侧棱长为2,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是___________________.4. 若正四棱锥的底面边长为23cm,体积为4cm3,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.5. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,,AB AC PA⊥⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.(1)求证:AC PB⊥;(2)求证:PB//平面AEC;(3)若PA AB AC a===,求三棱锥E-ACD的体积;(4)求二面角E-AC-D的大小.考点六线面、面面关系判断题1.已知直线l、m、平面α、β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:(1)α∥β,则l⊥m (2)若l⊥m,则α∥β(3)若α⊥β,则l∥m (4)若l∥m,则α⊥β其中正确的是__________________.2. m、n是空间两条不同直线,αβ、是空间两条不同平面,下面有四个命题:①,;m n m nαβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m nαβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m nαβαβ⊥⇒⊥ ④,,;m m n nααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)。