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立体几何大题题型归纳

立体几何大题一、证明平行1.如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证:(1)EG∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.2.(2015·四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.二、证明垂直1.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.2.(2015·山东)如图,三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.①求证:BD∥平面FGH;②若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.三、求线面角、二面角(1)如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA =AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE⊥平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.(2).(2014·山东)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB =60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1;(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.(3).(2015·广东)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角PADC的正切值(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.四、空间向量在立体几何中的应用1、如图,在三棱锥PABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.2、如图所示,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:①DE∥平面ABC;②B1F⊥平面AEF.3、如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证:BD⊥AA1;(2)求二面角D-A1A-C的余弦值;(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.4、(2015·课标全国Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的底面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.5、如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD =AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值..D,E分别为线6、(2015·重庆)如图,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=π2段AB,BC上的点,且CD=DE=2,CE=2EB=2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角APDC的余弦值.7、如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.(1)求证:CD=C1D;(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;(3)求点C到平面B1DP的距离.8、(12分)(2014·天津)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.立体几何大题一、证明平行1.如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证:(1)EG∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证四边形BEGO为平行四边形,故OB∥GE,由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图,连接HB、D1F,易证四边形HBFD1是平行四边形,故HD1∥BF.又B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,所以平面BDF∥平面B1D1H.2.(2015·四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.解(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH,证明如下:因为ABCDEFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形,所以BE∥CH,又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH,同理BG∥平面ACH,又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.五、证明垂直如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1),知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.(2)(2015·山东)如图,三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.①求证:BD∥平面FGH;②若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.证明①方法一如图,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEFABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HM∥BD,又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.方法二如图,在三棱台DEFABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.②连接HE,因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.六、求线面角、二面角线面角、二面角的求法(1)如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明:AE⊥平面PCD;(3)求二面角A—PD—C的正弦值.(1)解在四棱锥P—ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,从而AB⊥平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P—ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD.(3)解过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示.由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.由已知,可得∠CAD=30°.设AC=a,可得PA=a,AD=233a,PD=213a,AE=22a.在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD=PA·AD,则AM=PA·ADPD=a·233a213a=277a.在Rt△AEM中,sin∠AME=AEAM=144.所以二面角A—PD—C的正弦值为14 4 .(2).(2014·山东)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB =60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1;(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形,且AB=2CD,所以AB∥DC.又由M是AB的中点,因此CD∥MA且CD=MA.连接AD1,如图(1).在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,因为CD ∥C 1D 1,CD =C 1D 1,可得C 1D 1∥MA ,C 1D 1=MA ,所以四边形AMC 1D 1为平行四边形,因此C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1,D 1A ⊂平面A 1ADD 1,所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)解方法一如图(2),连接AC ,MC .由(1)知CD ∥AM 且CD =AM ,所以四边形AMCD 为平行四边形,可得BC =AD =MC ,所以∠ABC =∠DAB =60°,所以△MBC 为正三角形,因为AB =2BC =2,可得CA =3,因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系Cxyz ,所以A (3,0,0),B (0,1,0),D 1(0,0,3),因此,12,所以MD 1→-32,-12,D 1C 1→=MB →-32,12,设平面C 1D 1M 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),·D 1C 1→=0,·MD 1→=0,-y =0,+y -23z =0,可得平面C 1D 1M 的一个法向量n =(1,3,1).又CD 1→=(0,0,3)为平面ABCD 的一个法向量,因此cos 〈CD 1→,n 〉=CD 1→·n |CD 1→||n |=55所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.方法二由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD =AB ,过点C 向AB 引垂线交AB 于点N ,连接D 1N ,如图(3).由CD 1⊥平面ABCD ,可得D 1N ⊥AB ,因此∠D 1NC 为二面角C 1-AB -C 的平面角.在Rt △BNC 中,BC =1,∠NBC =60°,可得CN =32.所以ND 1=CD 21+CN 2=152.在Rt △D 1CN 中,cos ∠D 1NC =CN D 1N =32152=55,所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.(3).(2015·广东)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC =4,AB =6,BC =3.点E 是CD 边的中点,点F ,G 分别在线段AB ,BC 上,且AF =2FB ,CG =2GB .(1)证明:PE ⊥FG ;(2)求二面角PADC 的正切值;(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.(1)证明在△PDC 中,PD =PC 且E 为CD 的中点,∴PE ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD =CD ,PE ⊂平面PDC ,∴PE ⊥平面ABCD ,又FG ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥FG .(2)解由(1)知PE ⊥平面ABCD ,∴PE ⊥AD ,又AD ⊥CD ,PE ∩CD =E ,∴AD ⊥平面PDC ,∴AD ⊥PD ,∴∠PDC 为二面角PADC 的平面角,在Rt △PDE 中,PD =4,DE =3,∴PE =16-9=7,∴tan ∠PDC =PE DE =73.即二面角PADC 的正切值为73.(3)解如图,连接AC ,∵AF =2FB ,CG =2GB ,∴AC ∥FG .∴直线PA 与FG 所成角即直线PA 与AC 所成角∠PAC ,在Rt △PDA 中,PA 2=AD 2+PD 2=16+9=25,∴PA =5.又PC =4.AC 2=CD 2+AD 2=36+9=45,∴AC =35,cos ∠PAC =PA 2+AC 2-PC 22PA ·AC =25+45-162×5×35=925 5.即直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525.七、空间向量在立体几何中的应用1、如图,在三棱锥PABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上.已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2.(1)证明:AP ⊥BC ;(2)若点M 是线段AP 上一点,且AM =3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明(1)如图所示,以O 为坐标原点,以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0),A (0,-3,0),B (4,2,0),C (-4,2,0),P (0,0,4).于是AP →=(0,3,4),BC →=(-8,0,0),∴AP →·BC →=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以AP →⊥BC →,即AP ⊥BC .(2)由(1)知|AP |=5,又|AM |=3,且点M 在线段AP 上,∴AM →=35AP →,95,又BC →=(-8,0,0),AC →=(-4,5,0),BA →=(-4,-5,0),∴BM →=BA →+AM →4,-165,则AP →·BM →=4,-165,0,∴AP →⊥BM →,即AP ⊥BM ,又根据(1)的结论知AP ⊥BC ,且BM ∩BC =C ,∴AP ⊥平面BMC ,于是AM ⊥平面BMC .又AM ⊂平面AMC ,故平面AMC ⊥平面BCM .2、如图所示,已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证:①DE ∥平面ABC ;②B 1F ⊥平面AEF .证明①如图建立空间直角坐标系Axyz ,令AB =AA 1=4,则A (0,0,0),E (0,4,2),F (2,2,0),B (4,0,0),B 1(4,0,4).取AB 中点为N ,连接CN ,则N (2,0,0),C (0,4,0),D (2,0,2),∴DE →=(-2,4,0),NC →=(-2,4,0),∴DE →=NC →,∴DE ∥NC ,又∵NC ⊂平面ABC ,DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC .②B 1F →=(-2,2,-4),EF →=(2,-2,-2),AF →=(2,2,0).B 1F →·EF →=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,B 1F →·AF →=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.∴B 1F →⊥EF →,B 1F →⊥AF →,即B 1F ⊥EF ,B 1F ⊥AF ,又∵AF ∩EF =F ,∴B 1F ⊥平面AEF .3、如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证:BD ⊥AA 1;(2)求二面角D -A 1A -C 的余弦值;(3)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由.(1)证明设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1=2,AO =1,∠A 1AO =60°,∴A 1O 2=AA 21+AO 2-2AA 1·AO cos 60°=3,∴AO 2+A 1O 2=AA 21,∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ,∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3).由于BD →=(-23,0,0),AA 1→=(0,1,3),AA 1→·BD →=0×(-23)+1×0+3×0=0,∴BD →⊥AA 1→,即BD ⊥AA 1.(2)解由于OB ⊥平面AA 1C 1C ,∴平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1=(1,0,0).设n 2=(x ,y ,z )为平面DAA 1D 1的一个法向量,2·AA 1→=0,2·AD →=0,+3z =0,-3x +y =0,取n 2=(1,3,-1),则〈n 1,n 2〉即为二面角D -A 1A -C 的平面角,∴cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=55,所以,二面角D -A 1A -C 的余弦值为55.(3)解假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,设CP →=λCC 1,P (x ,y ,z ),则(x ,y -1,z )=λ(0,1,3).从而有P (0,1+λ,3λ),BP →=(-3,1+λ,3λ).设n 3=(x 3,y 3,z 3)⊥平面DA 1C 13⊥A 1C 1→,3⊥DA 1→,又A 1C 1→=(0,2,0),DA 1→=(3,0,3),=0,3+3z 3=0,取n 3=(1,0,-1),因为BP ∥平面DA 1C 1,则n 3⊥BP →,即n 3·BP →=-3-3λ=0,得λ=-1,即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C =CP .4、(2015·课标全国Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =16,BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的底面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.解(1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M ,则AM =A 1E =4,EM =AA 1=8.因为四边形EHGF 为正方形,所以EH =EF =BC =10.于是MH =EH 2-EM 2=6,所以AH =10.以D 为坐标原点,DA →的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,则A (10,0,0),H (10,10,0),E (10,4,8),F (0,4,8),FE →=(10,0,0),HE →=(0,-6,8).设n =(x ,y ,z )是平面EHGF 的法向量,n ·FE →=0,n ·HE →=0,10x =0,-6y +8z =0,所以可取n =(0,4,3).又AF →=(-10,4,8),故|cos 〈n ,AF →〉|=|n ·AF →||n ||AF →|=4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.5、如图,在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC ,∠BAD =90°,AC ⊥BD ,BC =1,AD =AA 1=3.(1)证明:AC ⊥B 1D ;(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.(1)证明易知,AB ,AD ,AA 1两两垂直,如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系.设AB =t ,则相关各点的坐标为A (0,0,0),B (t,0,0),B 1(t,0,3),C (t,1,0),C 1(t,1,3),D (0,3,0),D 1(0,3,3).从而B 1D →=(-t,3,-3),AC →=(t,1,0),BD →=(-t,3,0),因为AC ⊥BD ,所以AC →·BD →=-t 2+3+0=0.解得t =3或t =-3(舍去).于是B 1D →=(-3,3,-3),A C →=(3,1,0),因为AC →·B 1D →=-3+3+0=0,所以AC →⊥B 1D →,即AC ⊥B 1D .(2)解由(1)知,AD 1→=(0,3,3),A C →=(3,1,0),B 1C 1→=(0,1,0),设n =(x ,y ,z )是平面ACD 1的一个法向量.n ·A C →=0,n ·AD 1→=0,3+y =0,3y +3z =0,令x =1,则n =(1,-3,3).设直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,B 1C 1〉|=|n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→||=37=217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角的正弦值为217.6、(2015·重庆)如图,三棱锥PABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC =3,∠ACB =π2.D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且CD =DE =2,CE =2EB =2.(1)证明:DE ⊥平面PCD ;(2)求二面角APDC 的余弦值.(1)证明由PC ⊥平面ABC ,DE ⊂平面ABC ,故PC ⊥DE .由CE =2,CD =DE =2得△CDE 为等腰直角三角形,故CD ⊥DE .由PC ∩CD =C ,DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线,故DE ⊥平面PCD .(2)解由(1)知,△CDE 为等腰直角三角形,∠DCE =π4,如图,过D 作DF 垂直CE 于F ,易知DF =FC =FE =1,又已知EB =1,故FB =2.由∠ACB =π2得DF ∥AC ,DF AC =FB BC =23,故AC =32DF =32.以C 为坐标原点,分别以CA →,CB →,CP →的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,0,3),A 32,0,0,E (0,2,0),D (1,1,0),ED →=(1,-1,0),DP →=(-1,-1,3),DA →12,-1,0设平面PAD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),由n 1·DP →=0,n 1·DA →=0-x 1-y 1+3z 1=0,12x 1-y 1=0,故可取n 1=(2,1,1).由(1)可知DE ⊥平面PCD ,故平面PCD 的法向量n 2可取为ED →,即n 2=(1,-1,0).从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=36,故所求二面角APDC 的余弦值为36.7、如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =AA 1=1,D 是棱CC 1上的一点,P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点,且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证:CD =C 1D ;(2)求二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值;(3)求点C 到平面B 1DP 的距离.(1)证明连接AB 1,交BA 1于点O ,连接OD .∵B 1P ∥平面BDA 1,B 1P ⊂平面AB 1P ,平面AB 1P ∩平面BA 1D =OD ,∴B 1P ∥OD .又∵O 为B 1A 的中点,∴D 为AP 的中点.∵C 1D ∥AA 1,∴C 1为A 1P 的中点.∴DC 1=12AA 1=12CC 1,∴C 1D =CD .(2)解建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ,则B 1(1,0,0),B (1,0,1),D (0,1,12),∴A 1B 1→=(1,0,0),A 1B →=(1,0,1),A 1D →=(0,1,12).设平面BA 1D 的一个法向量为n =(x 1,y 1,z 1).1B ·n =0,1D →·n =0,1+z 1=0,1+12z 1=0.令z 1=2,则x 1=-2,y 1=-1,∴n =(-2,-1,2).又A 1B 1→=(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量,∴cos 〈n ,A 1B 1→〉=n ·A 1B 1→|n ||A 1B 1→|=-23×1=-23.由图形可知二面角A -A 1D -B 为锐角,∴二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值为23.(3)解∵C (0,1,1),D (0,1,12),B 1(1,0,0),P (0,2,0),∴CD →=(0,0,-12),DB 1→=(1,-1,-12),DP →=(0,1,-12).设平面B 1DP 的一个法向量为m =(x 2,y 2,z 2).1→·m =0,·m =0,2-y 2-12z 2=0,2-12z 2=0.令z 2=2,则x 2=2,y 2=1,∴m =(2,1,2).∴点C 到平面B 1DP 的距离d =|CD →·m ||m |=13.8、(12分)(2014·天津)如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD =DC =AP =2,AB =1,点E 为棱PC的中点.(1)证明:BE ⊥DC ;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求二面角F -AB -P 的余弦值.规范解答(1)证明依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系如图,可得B (1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2).[1分]由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1).BE →=(0,1,1),DC →=(2,0,0),故BE →·DC →=0,所以BE ⊥DC .[3分](2)解BD →=(-1,2,0),PB →=(1,0,-2).设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的法向量,n ·BD →=0,n ·PB →=0,-x +2y =0,x -2z =0.不妨令y =1,[5分]可得n =(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量.于是有cos 〈n ,BE →〉=n ·BE →|n |·|BE →|=26×2=33,所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33.[7分](3)解BC →=(1,2,0),CP →=(-2,-2,2),AC →=(2,2,0),AB →=(1,0,0).由点F 在棱PC 上,设CF →=λCP →,0≤λ≤1,故BF →=BC →+CF →=BC →+λCP →=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF ⊥AC ,得BF →·AC →=0,因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=34,即BF →=(-12,12,32).[9分]设n 1=(x ,y ,z )为平面FAB 的法向量,n 1·AB →=0,n 1·BF →=0,x =0,-12x +12y +32z =0.不妨令z =1,可得n 1=(0,-3,1)为平面FAB 的一个法向量.取平面ABP 的法向量n 2=(0,1,0),则cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=-310×1=-31010.易知,二面角F -AB -P 是锐角,所以其余弦值为31010.[12分]。

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