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高考立体几何题型与方法全归纳文科

v1.0 可编辑可修改2019高考立体几何题型与方法全归纳文科配套练习1、四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,2BC CD ==,3ACB ACD π∠=∠=.(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积。

【答案】(Ⅰ)证明:因为BC=CD ,即BCD ∆为等腰三角形,又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥.因为⊥PA 底面ABCD ,所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直, 故BD ⊥平面PAC 。

(Ⅱ)解:332sin 2221sin 21=⨯⨯=∠••=∆πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233131=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P .由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 81,故:4132813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F47412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图,四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为矩形,PAD ∆为等腰三角形,90APD ︒∠=,平面PAD ⊥ 平面ABCD ,且1,2AB AD ==,,E F 分别为PC 和BD 的中点.(Ⅰ)证明:EF 平面PAD ;(Ⅱ)证明:平面PDC ⊥平面PAD ; (Ⅲ)求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(Ⅰ)证明:如图,连结AC .∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点.∴F 也是AC 的中点. 又E 是PC 的中点,EFAPv1.0 可编辑可修改∵EF ⊄平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,所以EF 平面PAD ;(Ⅱ)证明:∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ,CD AD ⊥,平面PAD 平面ABCD AD =, 所以平面CD ⊥ 平面PAD ,又PA ⊂平面PAD ,所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥,,PD CD 是相交直线,所以PA ⊥面PCD 又PA ⊂平面PAD ,平面PDC ⊥平面PAD ;(Ⅲ)取AD 中点为O .连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形,所以PO AD ⊥, 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD 面ABCD AD =, 所以,PO ⊥面ABCD ,即PO 为四棱锥P ABCD -的高. 由2AD =得1PO =.又1AB =.∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=考点:空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥平面,CD PA ⊥, DB ADC ∠平分,E PC 为的中点,45DAC ∠=,2AC =.(Ⅰ)证明:PA ∥BDE 平面;(Ⅱ)若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】(Ⅰ)设F BD AC =⋂,连接EF ,CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥,平面,平面PAD PA PD P PA PD PA CD 平面,,,又⊂=⋂⊥ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面,平面∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点,E 为PC 中点, ∴EF 为CPA ∆的中位线.∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面,PA BDE ⊄平面 ∴PA ∥BDE 平面.(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;ABC ADC S S S ∆∆+=222322122221=⨯⨯+⨯⨯=. 的中点,为线段点PC E111122232323E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=.考点:1.线面平行的证明;2.空间几何体的体积计算.4、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,其中2PA PD AD ===,60BAD ︒∠=,Q 为AD 的中点.v1.0 可编辑可修改(1) 求证:AD PQB ⊥平面;(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC 的中点,求四棱锥M ABCD -的体积. 【答案】(1)PA PD =,Q 为中点,AD PQ ∴⊥ 连DB ,在ADB ∆中,AD AB =,60BAD ︒∠=,ABD ∴∆为等边三角形,Q 为AD 的中点,AD BQ ∴⊥,PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB , ∴AD ⊥平面PQB .(2)连接QC ,作MH QC ⊥于H .H ABCD PMQPQ AD⊥,PQ⊂平面PAD,平面PAD⋂平面ABCD AD=,平面PAD⊥平面ABCD,PQ ABCD∴⊥平面 , QC⊂ABCD平面 ,PQ QC∴⊥//PQ MH∴.∴MH ABCD⊥平面,又12PM PC=,1122222MH PQ∴==⨯=.在菱形ABCD中,2BD=,1sin602ABDS AB ADΛ=⨯⨯⨯1=2222⨯⨯⨯∴2ABDABCDS S∆==菱形M ABCDV-13ABCDS MH=⨯⨯菱形132=⨯1=.5、如图,E是矩形ABCD中AD边上的点,F为CD边的中点,243AB AE AD===,现将ABE∆沿BE边折至PBE∆位置,且平面PBE⊥平面BCDE.⑴求证:平面PBE⊥平面PEF;⑵求四棱锥P BEFC-的体积.PB CDFE(1)(2)【答案】(1) 证明:由题可知,4545ED DF DEF DEF ED DF EF BE AE AB ABE AEB AE AB =⎫⎫∆⇒∠=︒⎬⎪⊥⎭⎪⇒⊥⎬=⎫⎪∆ ⇒∠=︒ ⎬⎪⊥⎭⎭中中 ABE BCDEABE BCDE BE EF PBE PBE PEF EF BE EF PEF ⎫⊥⎫⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面平面平面平面平面平面 (2) 116444221422BEFC ABCD ABE DEF S S S S =--=⨯-⨯⨯-⨯⨯=,则111433BEFC V S h =⋅⋅=⨯⨯=6、已知四棱锥P ABCD -中,,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形,E 是PA 的中点,(1)若PD AD =,求 PC 与面AC 所成的角 (2) 求证://PC 平面EBD (3) 求证:平面PBC ⊥平面PCD 【答案】(1)PD ⊥平面ABCD ,DC ∴是直线PC 在平面ABCD 上的射影,PCD ∴∠是直线PC 和平E D CBAP面ABCD 所成的角。

又PD DA =,四边形ABCD 是正方形,,DA DC ∴=PD DC ∴=,045PCD ∴∠=;∴直线PC 和平面ABCD 所成的角为045(2)连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点 ∴EO ∥PC ∵PC ⊄平面EBD,EO ⊂平面EBD ∴PC ∥平面EBD (3)∵PD平面ABCD, BC ⊂平面ABCD ,∴PDBC ,∵ABCD 为正方形 ∴ BCCD ,∵PD ∩CD=D, PD ,CD ⊂平面PCD ∴BC平面PCD又∵ BC ⊂平面PBC ∴平面PBC平面PCD7、在边长为4cm 的正方形ABCD 中,E F 、分别为BC CD 、的中点,M N 、分别为AB CF 、的中点,现沿AE AF EF 、、折叠,使B C D 、、三点重合,重合后的点记为B ,构成一个三棱锥.(1)请判断MN 与平面AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明AB ⊥平面BEF ; (3)求四棱锥E AFNM -的体积. 【答案】(1)MN 平行平面AEF证明:由题意可知点M N 、在折叠前后都分别是AB CF 、的中点(折叠后B C 、两点重合) 所以MN 平行AF因为MN AEF AF AEF MN AF ⊄⎧⎪⊂⎨⎪⎩面面平行,所以MN 平行平面AEF .(2)证明:由题意可知AB BE ⊥的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前AD DF ⊥,由于折叠后AD AB 与重合,点D F 与重合,所以AB BF ⊥因为=AB BE AB BF BE BEF BF BEF BE BF B ⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪⋂⎪⎩面面,所以AB ⊥平面BEF .(3)E AFNM E ABF E MBN V V V ---=- A BEF M BEN V V --=-1133BEF BEN S AB S MB ∆∆=⋅-⋅11112242123232=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 2= .8、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,PD ∥MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==.(1)求证:平面EFG ⊥平面PDC ;(2)求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.【答案】(1)证明:∵MA ⊥平面ABCD ,PD ∥MA , ∴PD ⊥平面ABCD ,又BC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥BC , ∵ABCD 为正方形,∴BC ⊥DC. ∵PD DC D =,∴BC ⊥平面PDC .在PBC ∆中,因为G F 、分别为PB 、PC 的中点, ∴GF ∥BC ,∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ,∴平面EFG ⊥平面PDC . (2)不妨设=1MA ,∵ABCD 为正方形,∴2PD AD ==, 又∵PD ⊥平面ABCD ,所以P ABCD V -=13ABCD S PD ⋅正方形=83.由于DA ⊥平面MAB ,且PD ∥MA , 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离,三棱锥P MAB V -=13×1122⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×2=23.所以14P MAB P ABCD V V --:=:. 9、如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,.21,1,90====⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ,面v1.0 可编辑可修改 (1)求四棱锥S-ABCD 的体积;(2)求证:;SBC SAB 面面⊥(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。

【答案】(1)解:111111()(1)11332624v Sh AD BC AB SA ==⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯= (2)证明:BC SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,面,面 又,A AB SA BC AB =⊥ ,SAB BC 面⊥∴SAB BC 面⊂ SBC SAB 面面⊥∴(3)解:连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角。

在三角形SCA 中,SA=1,AC=21122=+,2221tan ===∠AC SA SCA 10、如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(I )证明://PQ 平面ACD ;(II )求AD与平面ABE 所成角的正弦值.SCA D B【答案】(Ⅰ)证明:连接CQ DP ,, 在ABE ∆中,Q P ,分别是AB AE ,的中点,所以BE PQ 21//==, 又BE DC 21//==,所以DC PQ ==//,又⊄PQ 平面ACD ,DC ⊂平面ACD , 所以//PQ 平面ACD (Ⅱ)在ABC ∆中,BQ AQ BC AC ===,2,所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ,DC EB //,所以⊥EB 平面ABC 而⊂EB 平面ABE , 所以平面ABE ⊥平面ABC , 所以⊥CQ 平面ABE 由(Ⅰ)知四边形DCQP 是平行四边形,所以CQ DP // 所以⊥DP 平面ABE , 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP , 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ∆中,5122222=+=+=DC AC AD ,1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以5551sin ===∠AD DP DAP。

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