立体几何常见重要题型归纳阳江一中 利进健题型一 点到面的距离常见技巧：等体积法例1：如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．（1）设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1；（2）证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C ；（3）求点D 到平面D 1AC 的距离．解析：（1）11//,,,//,22CD AB CD AB AF AB CD AF CD AF ==∴= ∴ 四边形AFCD 为平行四边形∴//CF AD 又AD ⊂面11ADD A ,CF ⊄面11ADD A∴//CF 面11ADD A 2分在直四棱柱中，11//CC DD , 又AD ⊂面11ADD A ,CF ⊄面11ADD A ∴1//CC 面11ADD A 3分又11,,CC CF C CC CF ⋂=⊂面1CC F ∴面1CC F //面11ADD A又1EE ⊂面11ADD A ,1//EE ∴面1CC F 5分（2）122BC CD AB === ∴ 平行四边形AFCD 是菱形 DF AC ∴⊥ ,易知//BC DF AC BC ∴⊥ 7分在直四棱柱中，1CC ⊥面ABCD ,AC ⊂面ABCD 1AC CC ∴⊥又1BC CC C ⋂= AC ∴⊥面11BCC B 9分又AC ⊂面1D AC ∴面1D AC ⊥面11BCC B 10分（3）易知11D D AC D ADC V V --= 11分∴ 设D 到面1D AC 的距离为d ，则111133AD C ADC S d S DD ⋅=⋅ ,又1115,3,2AD C ADC S S DD === 14分∴ 255d =，即D 到面1D AC 的距离为255 ． 16分 变式1：如图，在四棱锥P ABCD -中，⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PC BC =，E 是PA 的中点.（1）求证：⊥PB 平面CDE ；（2）已知点M 是AD 的中点，点N 是AC 上一点，且平面∥PDN 平面BEM .若42==AB BC ，求点N 到平面CDE 的距离.解析：（1）证明：取PB 的中点为F ，连接CF 和EF ，∵E 是PA 的中点，∴DC AB ∥∥EF ，∴平面CDE 与平面CDEF 为同一平面，∵⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，∴BC DC PC DC ⊥⊥,，即⊥DC 平面PBC ，∴PB DC ⊥.∵C CF CD PB CF PC BC =⊥∴= ,,，∴⊥PB 平面CDE .（2）过D 作B M ∥DG 交BC 于G ，连接PG ， ∵M 是AD 的中点，∴PD ∥EM ，∵D DG PD = ，∴平面∥PDG 平面BEM ，∴当N 是AC 与DG 的交点时，平面∥PDN 平面BEM ，在矩形ABCD 中，求得21==AD CG AN CN ， ∵42==AB BC ，∴22,3132===∆∆∆DCE DCG DCN S S S ， E 到平面ABCD 的距离为2，设点N 到平面CDE 的距离为d ， 由DCN E DCE N V V --=得342312231⨯⨯=⨯d ，解得322=d .变式2：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060，设1AA a =．（1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离．解析：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，即0160A BC ∠=,又连接1A C ，AB AC =，则11A B A C =∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=2BC ⇒=， ∴212121A B a a =⇒+==．（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离．设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'2332)42S =•= 又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ， 所以'113333S AC S d d ••=••⇒=，即11B C 到平面1A BC 的距离等于33．变式3：如图，AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上的动点，PA 垂直于O ⊙所在的平面ABC ．（Ⅰ）证明：PAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）设31PA AC ==，，求三棱锥A PBC -的高．解析：证明：（1）∵AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上的动点，∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥．又∵PA 垂直于O ⊙所在平面，BC ⊂平面O ⊙∴PA BC ⊥．∴PA AC A =∴BC ⊥平面PAC ．又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．（2）由⑴的结论平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，∴过A 点作PC 的垂线，垂足为D ，在Rt ABC △中， 3 , 1PA AC ==，∴2PC =，由AD PC PA AC ⨯=⨯，∴13322PA AC AD PC ⨯⨯===, ∴A 点到平面PCB 的距离为32． 变式4：在三棱锥P ABC -中，底面ABC 为直角三角形，AB BC =，PA ⊥平面ABC ．（1）证明：BC PB ⊥;（2）若D 为AC 的中点，且4,22PA AB ==，求点D 到平面PBC 的距离． 解析：（1）∵ABC ∆为直角三角形，AB BC =，∴AB BC ⊥，∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，BC ⊥平面PAB ，∵PB ⊂平面PAB ，∴BC PB ⊥．（2）由AB BC =，4PA =，22AB =，根据已知易得26PB =，∴1122264322PBC S BC PB ∆=•=⨯⨯=， 11122222222DBC ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=， ∴1833P DBC DBC V S PA -∆=⨯=， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，则4333D PBC PBC h h V S -∆==， ∵P DBC D PBC V V --=，∴233h =． 变式5：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12AB AA ==，5AC =，3BC =，M ，N 分别为11B C 、1AA 的中点．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ；（2）求证：//MN 平面1ABC ，并求M 到平面1ABC 的距离．解析：证明：（1）∵222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，又1AC AA A =，∴AB ⊥平面11AAC C ， ∵AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11AAC C ．（2）取1BB 中点D ，∵M 为11B C 中点，∴1//MD BC ，又N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形，∴//DN AB ，又MDDN D =，∴平面//MND 平面1ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面1ABC ．∴N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离． 过N 作1NH AC ⊥于H ，∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，∴NH ⊥平面1ABC ， ∴1111112552233AA AC NH AC ⨯⨯=⨯=⨯=． ∴点M 到平面1ABC 的距离为53．（或由等体积法可求）变式6：如图6，已知点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，AB 是直径，1CD =，直线CD ⊥平面ABC .（1）证明：AC BD ⊥；（2）在DB 上是否存在一点M ，使得OM ∥平面DAC ，若存在，请确定点M 的位置，并证明之；若不存在，请说明理由；（3）求点C 到平面ABD 的距离.【答案】（1）见解析 （2）中点 （321【解析】试题分析：注意空间垂直关系的转化，线线垂直可由线面垂直而得，注意是否存在类问题的解法，可由先确定点的位置，之后再证明，对于第三问，可由等级法来确定.试题解析：（1）证明：∵CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴CD AC ⊥. （1分）∵点C 在圆O 上，AB 是直径，∴AC BC ⊥. （2分）又∵CD BC C =，∴AC ⊥平面BCD . （3分）又∵BD 平面BCD ，∴AC BD . （4分）（2）当M 为棱DB 中点时，OM ∥平面DAC . （5分）证明：,M O 分别为,DB AB 中点，∴OM ∥AD ， （6分）又AD ⊂平面DAC ，OM ⊄平面DAC ，∴OM ∥平面DAC . （7分）（3）∵点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，∴60AOC ∠=︒，而1OA OC ==，于是，1AC =， （8分） ∵AB 是直径，∴AC BC ⊥，于是，2222213BC AB AC =-=-=∵直线CD ⊥平面ABC ，所以，CD AC ⊥，CD BC ⊥，2222112AD AC CD =+=+=，22312BD BC CD =+=+=.（9分） ∵2AB BD ==，设点E 是AD 的中点，连接BE ，则BE AD ⊥ ∴22222(2/2)7/2BE AB AE =-=-=， （10分）1131322ABC S AC BC ∆=⋅=⨯=， （11分） 117722222ABD S AD BE ∆=⋅==. （12分） ∵C ABD D ABC V V --=， （13分） 设点C 到平面ABD 的距离为h ，则有1133ABD ABC S h S CD ∆∆⋅=⋅，即73122h ⋅=⨯， ∴217h =，即点C 到平面ABD 的距离为217. （14分） 题型二 线面角常见技巧：1、定义法；2、等体积法例2：如图，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45,1,ADC AD AC O ∠===为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2,PO M =为 BD 的中点.（1）证明: AD ⊥平面 PAC ；（2）求直线 AM 与平面ABCD 所成角的正切值.解析：证明:（1） ,45,90AD AC ACD ADC DAC =∴∠=∠=∴∠=,又PO ⊥平面,ABCD PO AD ∴⊥,又,POAC O AD =∴⊥平面PAC . （2）连结 DO ，取DO 中点N ，连结,MN PO ⊥平面,ABCD MN ∴⊥平面ABCD MAN ∠，为所求线面角， 15125,1,tan 2225AN DO MN PO MAN ====∴∠=. 变式1：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，以AC 为直径的球面交PD 于M 点．（1）求证：面ABM ⊥面PCD ；（2）求CD 与面ACM 所成角的正弦值．解析：（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA AB ⊥，又∵AB AD ⊥，PA AD A =，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，由题意得90BMD ∠=︒，∴PD BM ⊥，又∵AB BM B =，∴PD ⊥平面ABM ，又PD ⊂平面PCD ，∴平面ABM ⊥平面PCD ．（2）根据题意，1262AMC S AM CM ∆=⋅=，142ADC S AD CD ∆=⋅=， 又M ACD D ACM V V --=，即11422633h ⨯⨯=⨯，42636h ==（其中h 为D 到面ACM 的距离），设CD 与面ACM 所成的角为α， 则2663sin 23h CD α===．变式2：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 的中点．（1）求证：11D E A D ⊥；（2）求直线1B C 与平面1DED 所成角的大小．解析：（1）连结1AD ，因为11A ADD 是正方形，所以11AD A D ⊥，又AE ⊥面11ADD A ，1A D ⊂面11ADD A ，所以1AE A D ⊥，又1AD AE A =，1,AD AE ⊂平面1AD E ，所以1A D ⊥平面1AD E ，而1D E ⊂平面1AD E ，所以11D E A D ⊥．（2）易证，四边形11A DCB 是平行四边形，所以11//A D B C ，则直线1B C 与平面1DED 所成角就是直线1A D 与平面1DED 所成角，平面1DED 交11A B 于F ，过1A 作11A H D F ⊥，易证：1A H ⊥平面1D DEF ，1A DH ∠就是直线1A D 与平面1DED 所成角， 111212sin 22A H A DF A D ∠===， 所以直线1B C 与平面1DED 所成角的大小为030．变式3：如下图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.（I ）证明：AE ⊥平面PAD ；（II ）取2AB =，在线段PD 上是否存在点H ，使得EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，若存在，请求出H 点的位置；若不存在，请说明理由. 证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC ∆为正三角形，因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA AE ⊥.而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PA AD A =， 所以AE ⊥平面PAD .（II ）解：设线段PD 上存在一点H ，连接AH ，EH . 由（I ）知，AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角. 在Rt EAH ∆中，3AE =，所以当AH 最短时，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大， 此时36tan 2AE EHA AH AH ∠===，因此2AH =. 所以，线段PD 上存在点H ， 当2DH =时，使得EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62. 变式4：如图，四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 是C 60∠AB =的菱形，侧面D PA 是边长为2的正三角形，O 是AD 的中点， M 为C P 的中点．（1）求证：C D P ⊥A ；（2）若PO 与底面ABCD 垂直，求直线DM 与平面C PA 所成的角的正弦值． 解析：（1）连接C O ，C A ，由题意可知D ∆PA ，CD ∆A 均为正三角形． 所以C D O ⊥A ，D OP ⊥A ．又C O OP =O ，C O ⊂平面C PO ，OP ⊂平面C PO ， 所以D A ⊥平面C PO ， 又C P ⊂平面C PO ， 所以C D P ⊥A ．（2）又PO ⊥平面CD AB ．即PO 为三棱锥CD P -A 的高． 在Rt C ∆PO 中，C 3PO =O =C 6P =在C ∆PA 中，C 2PA =A =，C 6P = 边C P 上的高2210AM =PA -PM =，所以C ∆PA 的面积C 111015C 62222S ∆PA =P ⋅AM =⨯⨯=． 设点D 到平面C PA 的距离为h ，由D C CD V V -PA P-A =得，C CD 1133S h S ∆PA ∆A ⋅=⋅PO ， 又CD 12332S ∆A =⨯=，所以115133323h ⨯⨯=⨯⨯，解得2155h =． 故点D 到平面C PA 的距离为2155． 设直线DM 与平面C PA 所成的角为θ则5622105152sin ===DM h θ， 所以直线DM 与平面C PA 所成的角的正弦值为562． 变式5：已知等腰直角三角形RBC ，其中， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置， 使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ．（Ⅰ）求证：BC ⊥PB（Ⅱ）求PC 与平面ABCD 所成角的余弦值 解析：（Ⅰ）证明：∵A 、D 分别是RB 、RC 的中点； ∴AD ∥BC ，∠P AD =∠RAD =∠RBC =90°； ∴P A ⊥AD ，P A ⊥BC ； 又BC ⊥AB ，P A ∩AB =A ； ∴BC ⊥平面P AB ； ∵PB ⊂平面P AB ；∴BC ⊥PB ；（Ⅱ）由P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ∩AB =A ； ∴P A ⊥平面ABCD ；连接AC ，则∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角； ∵AB =1，BC =2，∴AC =5； 又P A =1，P A ⊥AC ，∴PC =6；∴在Rt △P AC 中，cos ∠PCA ＝53066AC PC ==； ∴PC 与平面ABCD 所成角的余弦值为306变式6：如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 的中点，PA PC =，二面角P AC B --的大小为60．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）求AB 与平面PAC 所成角的正弦值． 解析：（1）⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥AC BBD PB ACPD ACBD 面PBD 又⊂AC 面PAC ，所以 面⊥PAC 面PBD 即平面⊥PBD 平面PAC （2）方法一：PDB ∠就是B AC P --的平面角，得 60=∠PBD作PD BO ⊥于O , 连结AO ，则BO AC ⊥，又D PD AC =⋂ ∴⊥BO 面PAC ，∴BAO ∠就是直线AB 与平面PAC 所成的角令a AB 2=，a BD 3=，a BD BO 2323== ∴43223sin ===∠a aAB BO BAO 变式7：如图，棱柱111C B A ABC -中，四边形B B AA 11是菱形，四边形11B BCC 是矩形，60,2,1,1=∠==⊥AB A AB CB BC AB .A C 1B 1CBA 1（1）求证：平面111ABB A B CA 平面⊥； （2）求点1C 到平面CB A 1的距离；（3）求直线C A 1与平面11B BCC 所成角的正切值.【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）点1C 到平面1A CB；（3）直线1A C 与平面11BCC B【解析】试题分析：（1）先证明CB ⊥面11A ABB ，又CB ⊂面11A ABB ，∴平面111CA B A ABB ⊥平面；（2）先求出11B A CB V -，即可知点1B 到面1A CB 的距离，而点11,C B 到面1A CB 的距离相等，所以点1C 到平面1A CB；（3）先找出1CA 在面11C CBB 的射影CE ，1CEA ∠为直线1A C 与平面11BCC B 所成线面角，放在1Rt ACE ∆中即可求出直线1A C 与平面11BCC B试题解析：（1）111111CB ABCB A ABB CB BB ABB CB CA B AB BB B ⊥⎫⊥⎫⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭11面面CA B 面A 面 4分（2）解：11111111////B C BCB C A BC B C BC A BC ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭面面面1A BC ，所以点11,C B 到面1A CB 的距离相等， 6分设点1B 到面1A CB 的距离相等，则11113B A CB A BC V S d -=∵160A AB ∠=︒，∴1A AB ∆为正三角形，1112,211,2A BC AB S ∴===1113B A CB V d -∴= 7分又1111111333B A CBC A B B A B B V V S BC --===8分∴3d =，∴3d =，点1C 到平面1A CB 的距离为. 9分（3）解：过1A 作11A E B B ⊥，垂足为E 10分111111A E A E BB A E A ABB ⊥⎫⎪⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪⊂⎭111111111面A ABB 面BB C C面A ABB 面BB C C=BB 面面11C CBB 12分∴CE 为1CA 在面11C CBB 的射影，1CEA ∠为直线C A 1与平面11B BCC 所成线面角，13分在1Rt ACE ∆中，11tan A E ACEEC ∠===， 所以直线C A 1与平面11B BCC 题型三 锥体体积常用技巧：选择合适的底面例3：如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面A C 1B 1CBA 1PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）求证：AB PE ⊥； （3）求三棱锥P BEC -的体积．解析：（1）∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴//DE BC ， 又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴//DE 平面PBC ． （2）连接PD ，∵//DE BC ，又90ABC ∠=︒，∴DE AB ⊥， 又PA PB =，D 为AB 中点，∴PD AB ⊥， ∴AB ⊥平面PDE ，∴AB PE ⊥．（3）∵平面PAB ⊥平面ABC ，PD AB ⊥，∴PD ⊥平面ABC ，∴1111323322322P BEC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=． 变式1：如图,三棱柱111ABC A B C -中,112AB AC AA BC ====,01160AA C ∠=,平面1ABC ⊥平面11AAC C ，1AC 与1A C 相交于点D ．（1）求证：1BD A C ⊥；（2）若E 在棱1BC 上，且满足//DE 面ABC ，求三棱锥1E ACC -的体积解析：（1）已知侧面11AAC C 是菱形，D 是1AC 的中点，∵1BA BC =，∴1BD AC ⊥∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，且BD ⊂平面1ABC ，平面1ABC 平面11AAC C 1AC =，∴BD ⊥平面11AAC C ，1BD A C ⊥．（2）∵//DE 面ABC ，DE ⊂面1ABC ，面1ABC 面ABC AB =，∴//DE AB∵点D 为1AC 的中点，∴点E 为1BC 的中点，∵112AA AC AC ===，01160AA C ∠=，∴12AC =，∵12AB BC ==,∴1ABC ∆为正三角形，3BD =∴点E 到面1ACC 的距离12=，点B 到面1ACC 的距离1322BD ==，101113sin 60223222ACC S AC AC ∆=••=•••= ∴1113133322E ACC V sh -==••=． 变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB BC ==，3CBA π∠=，ABEF 为直角梯形，//BE AF ，2BAF π∠=，2BE =，3AF =，平面ABCD ⊥平面ABEF ．（1）求证：AC ⊥平面ABEF ；（2）求三棱锥D AEF -的体积．解析：（1）证明：在ABC ∆中，1AB =，3CBA π∠=，2BC =，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=，所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥， 又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD平面ABEF AB =，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF ． （2）解：如图，连结CF ． ∵//CD AB ，∴//CD 平面ABEF ．∴点D 到平面ABEF 的距离等于点C 到平面ABEF 的距离，并且3AC =．∴D AEF C AEF V V --=11(31)332=⨯⨯⨯⨯ 32=变式3：如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2AB =，6PD =，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若//PD 平面EAC ，求三棱锥P EAD -的体积. 解析：（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC PD ⊥.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥， 又∵PD BD D =，AC ⊥平面PBD .而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD .（Ⅱ）解：∵//PD 平面EAC ，平面EAC 平面PBD OE =， ∴//PD OE ，∵O 是BD 中点，∴E 是PB 中点.取AD 中点H ，连结BH ，∵四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=，∴BH AD ⊥，又BH PD ⊥，AD PD D =，∴BD ⊥平面PAD，BH AB ==.∴11111222362P EAD E PAD B PAD PAD V V V S BH ---∆===⨯⨯⨯=⨯⨯= 变式4：如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ， 90=∠ABC ，且AB SA =， 点M 是SB 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N .（1）求证：⊥SC 平面AMN ；（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积.（1）证明：SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥， BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，又SA AB =，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥， AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥， 又已知SC AN ⊥， ⊥∴SC 平面AMN ；（2）SC ⊥平面AMN ，SN ∴⊥平面AMN ， 而1SA AB BC===，AC ∴=SC =又AN SC⊥，AN ∴=， 又AM ⊥平面SBC ，AM AN ∴⊥，而2AM =，6MN ∴=，122AMB S ∆∴=⨯= 11336S AMN AMN V S SN -∆∴=⋅=，361==∴--AMN S SAN M V V .题型4 二面角常用技巧：1、定义法；2、垂线法；3、垂面法例4：四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =.（1）证明：AD CE ⊥；（2）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的余弦值的大小. 解析：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O . ∵AB AC =，∴AF BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，∴AF ⊥平面BCDE ， ∴AF CE ⊥.2tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，∴90DOE ∠=，即CE DF ⊥， ∴CE ⊥平面ADF ，∴CE AD ⊥.（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂直为G .∵CG AD ⊥，CE AD ⊥，∴AD ⊥面CEG ，∴EG AD ⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角.23AC CD CG AD •==，6DG =，2230EG DE DG =-=，6CE =22210cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==-•.变式1：如图，三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D 是AC 的中点。