高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使X AX 0 。

证因为 A0，于是 A0 ，所以 rank An ，且 A 不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换 XC 1Y 使XAX YC 1ACYY BYy 12 y 22y p 2y p 21y p 2 2y n 2 ，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在Z C 1Y 中，令 y y2 yp10, y p 1 y p2y n 1, 则可得一线性方程组c 11x 1c 12x2c 1n xnc p 1x1c p 2 x2c pnx n，c p 1,1x1c p 1, 2 x2c p1,nxn1c n1x 1c n 2 x2c nn xn1由于 C 0 ，故可得唯一组非零解X s x 1s , x 2s , , x ns 使X s AX s 0 00 1 11n p 0 ，即证存在 X 0，使 X AX0 。

13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明：A B 也是正定矩阵。

证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且X AX 0 ，X BX 0 ，因此X A B X X AX X BX 0 ，于是 XA B X 必为正定二次型，从而A B 为正定矩阵。

14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证 必要性。

采用反证法。

若正惯性指数p 秩 r ，则 pr 。

即f x 1 , x 2 , , x ny 2 y 2y 2y 2y 2 ，12pp 1r若令y1 y2 y p 0 ， y p 1 y r 1 ，则可得非零解x1 , x2 , , x n 使 f x1, x2 , , x n 0 。

这与所给条件 f x1 , x2 , , x n0 矛盾，故 p r 。

充分性。

由p r ，知f x1 , x2 , , x n y12 y22 y p2，故有f x1 , x2 , , xn 0 ，即证二次型半正定。

n n 2x i215 ．证明： n x i 是半正定的。

i 1 i 1n n 2证 n x i2 x ii 1 i 1n x12 x22 x n2x12 x22 x n2 2x1 x2 2 x1 x n 2x2 x3 2x2 x n 2x n 1x n n 1 x12 x22 x n2 （ 2x1 x2 2x1 x n 2x2 x32 x2 x n 2x n 1 x n）x12 2x1x2 x22 x12 2x1x3 x32 x n21 2x n 1 x n x n2x i x j 2 。

1 i j n可见：1）当x1, x2, , x n不全相等时f x1 , x2 , , x n x i x j 20 。

1 i j n 2）当x1 x2 x n时f x1 , x2 , , x n x i x j 20 。

1 i j n 故原二次型 f x1 , x2 ,, x n是半正定的。

16 ．设f x1, x2, , x n X AX是一实二次型，若有实n 维向量 X 1 , X 2使X1 AX 0 ，X2AX2 0。

证明：必存在实n 维向量 X 0 0使 X0AX0 0。

设 A 的秩为r，作非退化线性替换X CY 将原二次型化为标准型X AX d1 y12 d 2 y22 d r y r2，其中 d r为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1, X2使X1AX1 0 和X2AX2 0，故标准型中的系数d1 , , d r不可能全为1，也不可能全为 -1 。

不妨设有p 个1， q 个-1，且 p q r ，即X AX y12 y 2p y2p 1 y p2 q ，这时 p 与 q 存在三种可能：p q ，p q ，p q下面仅讨论 p q 的情形，其他类似可证。

令 y1 y q 1，yq 1 y p 0 ，yp 1 y p q 1 ，则由 Z CY 可求得非零向量X 0使X0AX0 y12 y p2 y p2 1 y 2p q 0，即证。

17．A是一个实矩阵，证明：rank A A rank A 。

证由于 rank A rank A A 的充分条件是AX 0与 AAX 0 为同解方程组，故只要证明 AX 0与AAX 0 同解即可。

事实上AX 0 A AX 0 X AAX 0AX AX 0 AX 0 ，即证 AX 0与AAX 0 同解，故rank A A rank A 。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第 2 题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）x1x2n x2x2 n 1x2x2n 1 x n x n 1；2）x1x2 x2 x3 x n 1 x n；n3）x i2 x i x j；i 1 1 i j nn 2x1 x2 x n。

4）x i x ，其中 xi 1 n解 1 ）作非退化线性替换x1y1y2 nx2y2y2n 1x n y n yn 1 ，x n y n yn 11x2 n 1y2y2n 1x2 n y1y2n即 X TY ，则原二次型的标准形为f y12y22y n2y n21y22n 1y22n，且替换矩阵1 0 0 10 1 1 0T1 1，1 10 1 1 01 0 0 1使11TAT，11其中1 2 12A。

1 1 222）若y 1x 1 x 2 x3 ，y 2x 1 x 2x3 ，22则y 12 y 22y 1y 2 y 1 y 2x 1x 2 x 2 x 3 ，于是当 n 为奇数时，作变换y ix ix i 1x i22y i 1x ix i 1xi 2i1,3,5, , n 2 ，2y nx n则x x2x x3x n 1 xny 2 y2 y 2y 2y 2y 2 ，121234n 2n 1且当 n 4k1时，得非退化替换矩阵为1 11 1 11 1 110 0 0 0 01 1 1 1 1T110 ，11 01当 n 4k 3 时，得非退化替换矩阵为1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 01 1 1 1 1T 1 1 0 0 0 ，1 1 01故当 n 为奇数时，都有1111TAT。

11当 n 为偶数时，作非退化线性替换y i x i x i 1 x i 22y i 1 x i x i 1 x i 22i 1,3,5, , n 3 ，x n x ny n 112y n x n 1 x n2则x x2 x x3xn 1xny2 y 2 y2 y2 y 2 y 2 ，1 2 1 2 3 4 n 1 n 于是当 n 4k 时，得非退化替换矩阵为1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 1 1T 1 1 0 0 ，1 11 1于是当 n 4k 2 时，得非退化替换矩阵为1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 1 1T 1 1 0 0 ，1 11 1故当 n 为偶数时，都有111TAT1。

11 3）由配方法可得1 n 21 n2f x1 x j 3x2 x j2 j 2 43 j 3n1x n2 n 1 xn2，1xn 12 n n 2n 于是可令y11 nx j x12 j 2y2 x2 1 nx j 3 j 3，y n 1 x n 1 1x n ny n x n 则非退化的线性替换为x1 y1 1y21y3 1yn 11y n 2 3 n 1 nx2 y2 1y3 1yn 11y n3 n 1 n，x n 1 yn 11y nnx n y n 且原二次型的标准形为f y12 3y22 n y n21 n 1 y n2，4 2 n 1 2n相应的替换矩阵为1 1 1 1 12 3 n 1 n0 1 1 1 1 3 n 1 nT 0 0 1 11 1 ，n n0 0 0 1 1 n0 0 0 0 1 又因为1 1 1 12 2 211 1 12 2 2A ，1 1 112 2 211 112 2 2所以1 0 0 0 00 30 0 0 440 0 0 06T AT 。

0 0 0 n 02 n 10 0 0 0 n 1 n4）令y1 x1 xy2 x2 x，y n 1 x n 1 xy n x n则nx1 2y1i 2y inx2 y1 2y2 y ii 3。

n 2xn 1 y i 2 y n 1 y ni 1x n y n由于n ny i x i n 1 x x ，i 1 i 1则n 1 n 2 n 1 n 1 2 原式y i2 y n y i y i2 y ii 1 i 1 i 1 i 1n 1y i22 y i y ji 1 1 i j n 12 z12 3z22 n z n21 42 n 12z12 3z22 n z n2 1，2 n 1其中所作非退化的线性替换为y1 z1 1z21z3 1zn 1 2 3 n 1y2 z2 1z31z41z n 1 3 4 n 1，y n 1 z n 1y n z n 故非退化的替换矩阵为1 1 1 12 1 1 1 1 23 n 11 2 1 1 1 0 1 1 1 03 n1 12 1 1 11T 0 0 1 01 1 12 1n 10 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 12 0 0 0 11 30 0 1 241 10 12 3 。

0 1 1 n1 2 3 n 10 10 0 0又2 x1 xn x2 xx i x x1 x, x2 x, , x n xi 1x n xn 1 1 1 n 1 1 1x1n n n n n nx1 , x2 , , x x 1 n 1 1 1 n 1 1 x2 n n n n n n1 1 n 1 1 1 n 1 x n n n n n n nn 1 1 1 x 1n n n x 1 , x 2 , , x x1 n 1 1 x 2n n n1 1n 1 x nnnnZAZ ，所以2 0 0 0 00 3 0 024T AT0 03 。

0 0 0 n 0n0 010 02． 设实二次型s2f x 1 , x 2 , , x ni 1 a i1 x 1 a i 2 x 2a in x n，证明： f x 1 , x 2 , , x n 的秩等于矩阵a11a12a1nAa 21a 22a 2na s1a s2a sn的秩。