2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期第一阶段考试数学试题一、单选题1．已知a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭为单位矩阵，则向量()m a b =,的模为（ ）．A ．0B ．1C ．2D【答案】B【分析】根据n 阶单位矩阵的定义，可知1,0a d b c ====，即()1,0m =，即可求得结果【详解】根据单位矩阵的定义，主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n 阶矩阵称为n 阶单位矩阵，可知1,0a d b c ====，则()(),1,0m a b == 所以()1,01m == 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查单位矩阵及求向量的模，解题的关键是熟悉单位矩阵的定义，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.2．已知a ，b 为两个非零向量，命题甲：a b a b -=+，命题乙：向量a 和b 共线，则甲是乙的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】A【分析】若()22cos ,//1a b a b a a ba b ba b-=+⇒-=+⇒=-⇒，即甲可以推出乙，故充分性成立；但,a b 同向共线时，a b a b -<+；,a b 反向共线时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立.【详解】若a b a b -=+，则()22a ba b-=+，整理得2222+c 2,2os a a b a b a b a b b +-=+，即c 22os ,a b a b a b -=，即cos ,1=-a b ，则//a b ，即甲可以推出乙，故充分性成立；若//a b ，当,a b 同向时，a b a b -<+；当,a b 反向时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件； 故选：A【点睛】关键点睛：本题考查充分必要性条件的判断，向量数量积与向量共线，向量模长的运算，解题的关键是熟悉向量积公式cos ,a b a b a b ⋅=，及向量模长公式2a a =的运用，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.3．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（ ）A ．91010a - B ．4510a -C ．4510aD ．91010a【答案】A【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：10110111100n n n n a a a a ---=⇔=则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力5.1的视标边长为91010a - 故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.4．在ABC 中，H 是边AB 上一定点，满足4AB HB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB PC HB HC ⋅≥⋅，则（ ）． A ．90ABC ∠= B ．90BAC ∠=C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，(),C a b ，(),0P x ，由题意写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，由PB PC HB HC⋅≥⋅结合向量的数量的坐标表示可得关于x 的一元二次不等式，结合二次不等式的性质即可求出a 得值，进而可得正确答案.【详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系， 设4AB =，(),C a b ，(),0Px ，则1BH = ，()2,0A -，()2,0B ，()1,0H ，所以()1,0HB =，()2,0PB x =-，(),PC a x b =-，()1,HC a b =-，()()2PB PC x a x ⋅=--，1HB HC a ⋅=-，因为PB PC HB HC ⋅≥⋅对于边AB 上任一点P 都成立， 所以()()21x a x a --≥-恒成立，即()2210x a x a -+++≥恒成立，所以()()22410a a ∆=+-+≤，即20a ≤，又因为20a ≥，所以0a =，即点C 在AB 的垂直平分线上， 所以AC BC =， 故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键想到建立直角坐标系将PB PC HB HC ⋅≥⋅转化为坐标，设，设4AB =，(),C a b ，(),0Px ，写出各点坐标即可写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，可得()()21x a x a --≥-恒成立，利用二次函数的性质求出0a =，可得点C 在AB 的垂直平分线上即AC BC =二、填空题5．2213lim x n n →∞+=______．【答案】3【分析】根据极限的运算法则，即可求解.【详解】由22221311lim lim(3)lim 33x x x n n n n→∞→∞→∞+=+=+=. 故答案为：3.6．已知()1,a k =，()2,3b =，若a 与b 平行，则k =________. 【答案】32【分析】直接利用向量平行公式计算得到答案.【详解】()1,a k =，()2,3b =，a 与b 平行，则3322k k =∴= 故答案为：32【点睛】本题考查了向量的平行，属于简单题.7．方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为______．【答案】211310⎛⎫⎪-⎝⎭【分析】利用增广矩阵的定义即可求解.【详解】方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵， 故方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为211310⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：211310⎛⎫⎪-⎝⎭8．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =______． 【答案】88.【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】因为{}n a 是等差数列， 所以()()111481*********88222a a a a S ++⨯====，故答案为：88.9．若1324A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1233B -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2A B -=______． 【答案】34111⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由矩阵的性质进行计算即可.【详解】13263424412122233381311A B ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎪--⎝⎭⎝⎭⎭故答案为：34111⎛⎫⎪⎝⎭10．已知()111111234212f n n n=++++++-，则()()1f n f n +-=______． 【答案】112122n n +++ 【分析】由题意得出()1f n +，再由()()1f n f n +-得出答案.【详解】()1111111112342122122f n n n n n +=++++++++-++ ()()1121122n n n n f f +=+∴++- 故答案为：112122n n +++ 11．已知ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足2PC BP =，则BA AP ⋅=______．【答案】56-【分析】利用平面向量的线性运算以及数量积的定义即可求解.【详解】因为2PC BP =，所以13BP BC =， ()2213BA AP BA BP BA BA BP BA BA BC BA ⋅=⋅-=⋅-=⋅-221115cos601113326BA BC BA =⨯-=⨯⨯⨯-=-， 故答案为：56-12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，则n a =______．【答案】5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩，n *∈N【分析】根据数列的前n 项和，由11,2n n n S S n a S --≥⎧=⎨⎩，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，当2n ≥时，()22141421n n n a S S n n n -=-=+---=-；又211145a S ==+=不满足上式，所以5,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，n *∈N .故答案为：5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩，n *∈N13．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =___________．【答案】152-+ 【分析】无穷等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，不合题意；要使()34lim n n a a a →∞+++存在，必须(1,0)(0,1)q ∈-⋃，求出极限，解方程即可． 【详解】由题：无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，341(2)n a a a n a +++=-，不满足()134lim n n a a a a →∞=+++；所以1q ≠，2334(1)1n n a a a a q q-+++=--， 极限()34lim n n a a a →∞+++存在，即(1,0)(0,1)q ∈-⋃，()23334(1)lim lim 11n n n n a q aa a a q q-→∞→∞⎛⎫-+++== ⎪--⎝⎭， 即2111a q a q=-，化简得：210q q +-=，解得：q =，(1,0)(0,1)q ∈-⋃所以q =．故答案为：12-+ 【点睛】此题考查等比数列之和极限的应用，根据对数列极限讨论，求出基本量的关系．14．已知点()11,1P ，()27,4P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量()1,1a =-方向上的投影为______．【答案】2【分析】根据点P 分向量12PP 的比是12，11213PP PP =，求出向量1PP的坐标，利用投影的计算公式即可求解.【详解】因为点P 分向量12PP 的比是12，即()()112116,32,133PP PP ===， 因为()1,1a =-()121111PP a ⋅=⨯-+⨯=-，所以向量1PP 在向量()1,1a =-方向上的投影为122PP a a ⋅==，故答案为：215．在ABC ∆中,,120CB a CA b ACB ==∠=，，若点D 为ABC ∆所在平面内一点,且满足条件:①()()1CD CB CA R λλλ=+-∈；②()CDbCB aCA +，则CD =________(用a b 、表示).【答案】aba b+ 【分析】由①②可知,CD 为ACB ∠的角平分线，利用,,ABC BCD ACD ∆∆∆的面积关系，即可求出CD .【详解】()()1CD CB CA R λλλ=+-∈，(),CD CA CB CA AD AB λλ∴-=-∴=,AD AB ∴共线，且有一公共点，,,A B D ∴三点共线，即D 在AB 边上.由()CB CAbCB aCA ab a b+=+=()||||CB CA ab CB CA + ||||CB CACB CA +向量在ACB ∠的角平分线上， ()CD bCB aCA +∥，所以CD 为ACB ∠的角平分线. 060ACD BCD ∴∠=∠=00,11sin120||sin 60(),22ABC ACD BCD S S S a b CD a b ∆∆∆=+∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+ abCD a b ∴=+. 故答案为:aba b+ 【点睛】本题考查平面向量的几何意义,考查模长,三角形的面积,常用向量所表示的几何意义熟练掌握是解题的关键,属于中档题.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意的n *∈N ，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”，则以下{}n a 为“T 数列”的是______． ①{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <；②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <； ③若()212n nn a n n +=+；④若11a =，()210nn n a a ++-=． 【答案】②③【分析】对于①②③④中的数列，分别求前n 项和n S ，判断是否存在实数A ，使得对任意的n *∈N ，都有n S A <，即可判断该数列是否为“T 数列”，即可得正确答案. 【详解】对于①：{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，由等差数列的前n 项和公式可得：()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当n 无限大时，n S 也无限大，所以数列{}n a 不是 “T 数列”，故①不正确；对于②：若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <；所以()11111112111111n n n n a q a a q a a q a S qq q q q q-==-<+<------，满足“T 数列”的定义，故②正确； 对于③：()()121112212n n n n n a n n n n ++==-+⋅+⋅，所以()()122311111111111122222322122122n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅所以数列()212n nn a n n +=+是“T 数列”，故③正确；对于④：在数列{}n a 中，11a =，()210nn n a a ++-=， 当n 是奇数时，20n n a a +-=，数列{}n a 中的奇数项构成常数列，且各项都是1，当n 是偶数时，20nna a ，即任意两个连续偶数和为0，当n →+∞时，n S →+∞，所以{}n a 不是“T 数列”， 综上所述为“T 数列”的是：②③， 故答案为：②③【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.三、解答题17．已知()2,1A ，()3,2B =，()1,4D =-． （1）若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标；（2）已知O 为坐标原点，在（1）的情况下，求OA OB OC OD ⋅-⋅． 【答案】（1）()0,5；（2）12-.【分析】（1）设(),C x y ，利用四边形ABCD 是矩形，可得AD BC =，转化为坐标相等即可求解；（2）利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】（1）设(),C x y ，因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD BC =，()3,3AD =-，()3,2BC x y =--, 所以3323x y -=-⎧⎨-=⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩， 所以点C 的坐标()0,5，（2）因为()2,1OA =，()3,2OB =，()0,5OC =，()1,4OD =-， 所以()231204512OA OB OC OD ⋅-⋅=⨯+⨯-+⨯=-，所以12OA OB OC OD ⋅-⋅=-.18．已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=． （1）求x 与y 的夹角θ；（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值． 【答案】(1) 3πθ=(2) 14m =【分析】（1）由(2)(2)5x y x y -⋅-=展开，可解出1x y ⋅=，根据向量夹角公式1cos 2x yx yθ==⋅，即可求出夹角θ的大小； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m 的值． 【详解】（1）∵(2)(2)5x y x y --=∴2225251x x y y x y -⋅+=⇒⋅= ∵1cos 2x y x yθ⋅==⋅ ∴3πθ=．（2）∵()x m y y -⊥∴()0x m y y -⋅=，即20x y m y ⋅-= ∴11404m m -=⇒=． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．19．根据预测，疫情期间，某医院第()N n n *∈天口罩供应量和消耗量分别为n a 和n b （单位：个），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 天末的口罩保有量是前n 天的累计供应量与消耗量的差．（1）求该医院第4天末的口罩保有量；（2）已知该医院口罩仓库在第n 天末的口罩容纳量()24468800n S n =--+（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？【答案】（1）935；（2）第42天末，口罩保有量达到最大超过了.【分析】（1）分别将1,2,3,4n =代入n a 和n b 算出前4个天的口罩供应量和消耗量，差值即为保有量；（2）当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，根据n a 和n b 列出不等式，求出n 的最大值，计算出最大保有量和最大容纳量比较即可得出结论.【详解】（1）第4天末的口罩保有量是前4天口罩供应量和消耗量之差， 将1,2,3,4n =代入n a 和n b 得第4天末的口罩保有量为：()()()()1234123420954204306789935a a a ab b b b +++-+++=+++-+++=，所以该医院第4天末的口罩保有量为935； （2）当n n a b >时，保有量始终增加.即104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤， 即第42天末的时候，保有量达到最大， 此时()()1234212342a a a a b b b b ++++-++++()()420503864742965878222+⨯+⨯=+-=，而容纳量为()2424424688008736S =--+=， 而87828736>，所以保有量超过了容纳量.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是读懂题意当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，前4个天的口罩供应量和消耗量差值即为保有量；第二问当n n a b >时，保有量始终增加，由104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤，即第42天末的时候，保有量达到最大，计算出前42天保有量和第42天末的口罩容纳量比较即可. 20．在直角坐标平面xOy 上的一列点()111,A a ，()222,A a ，…，(),nnA n a ，…，简记为{}n A ．若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +>，1n =，2，…，其()0,1j =，则称{}n A 为“M 点列”．（1）判断()11,1A ，()22,1A ，()33,1A ，…，(),1n A n ，是否为“M 点列”，并说明理由；（2）判断()11,1A ，212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，313,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭…是否为“M 点列”，请说明理由，并求出此时列{}n b 的前n 项和n T ．（3）若n A 为“M 点列”，且点2A 在1A 的右上方，任取其中连续三点k A ，k 1A +，2k A +，判断12k k k A A A ++的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析；1n nT n =-+；（3）钝角三角形，证明见解析．【分析】（1）根据“M 点列”的定义，结合题中条件，即可得出结果； （2）根据题中条件，得出()11nn n b -+=，结合“M 点列”的定义，即可判断出结果；再利用裂项相消法，即可求出数列的和；（3）先由题意，得到1k k A A +与12k k A A ++的坐标，表示出向量数量积，利用“M 点列”的性质，判断1120k k k k A A A A +++⋅<，即可判断三角形的形状. 【详解】（1）根据题意得1n a =，()11,0n n A A +=，∴110010n n n b A A j +=⋅=⨯+⨯=不满足1n n b b +>，故{}n A 不是“M 点列”．（2）根据题意得1n a n =，1111,1n n A A n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()111111n n n b A A j n n n n +-=⋅=-=++，显然有1n n b b +>， ∴{}n A 是M 点列． 则12311111111 (1123243)111n n nT b b b b n n n n =++++=-+-+-++-=-=-+++． （3）因为n A 为“M 点列”，所以(),k k A k a ，()111,k k A k a +++，()222,k k A k a +++ 所以()111,k k k k A A a a ++=--，()12211,k k k k A A a a ++++=-， 则()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--， ∵点2A 在点1A 的右上方，∴1210b a a =->， ∵{}n A 为M 点列，∴10n b b ≥>，∴()()21110k k k k k k a a a a b b ++++--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<， 即11212112cos 0k k k k k k k k k k k A A A A A A A A A A A ++++++++⋅∠=<，又12k k k A A A ++∠为12k k k A A A ++的内角，∴12k k k A A A ++∠为钝角，∴12k k k A A A ++为钝角三角形． 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于对“M 点列”的理解，要判断一个点列为“M 点列”，必须满足1n n n b A A j +=⋅为增数列；求解“M 点列”中构成的三角形形状时，则需要结合“M 点列”的性质，结合向量数量积求解即可.21．已知数列{}n a 中，已知11a =，2a a =，()12n n n a k a a ++=+对任意n *∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值； （2）若1a =，12k =-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12k =；（2）()2,21,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ；（3）存在，25k =-．【分析】（1）由{}n a 是等差数列，可得121n n n n a a a a +++-=-得到121()2n n n a a a ++=+，即可求解； （2）由12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，进而得到321n n n n a a a a ++++=+，分n 是偶数和n 是奇数，分类讨论，即可求解；（3）由{}n a 是等比数列，得到1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，分1m a ，m a 和2ma 分别为等差中项，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 是等差数列，则对任意n *∈N ， 可得121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，即121()2n n n a a a ++=+，故12k =． （2）由12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，()211n n n n a a a a ++++=-+， 故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． 当n 是偶数时，()12341122n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=； 当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++()()()123451n n a a a a a a a -=+++++++，()11222n n -=+⨯-=- 综上可得，()2,21,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ． （3）若{}n a 是等比数列，则公比21a q a a ==， 由题意1a ≠，故1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=．①若1m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，221a a =+，解得1a =（舍去）； ②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+， 即112m m m a a a -+=+，22a a =+，因为1a ≠，解得2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++． ③若2m a 为等差中项，则212m m m a a a ++=+， 即112m m m a a a +-=+，221a a =+， 因为1a ≠，解得12a =-，2215a k a ==-+， 综上，存在实数k 满足题意，25k =-． 【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。