2015-2016学年第一学期期末考试高一年级数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上。
）1、设集合A={ 1，2，3}，B={ 2，4}，则A B= ．2、函数1sin()24y x π=+的周期为 ．3、已知幂函数)(x f y =图象过点)2,2(，则)9(f = .4、集合{}1,2共有 个子集.5、在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2D B →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝ .6、已知点(1,2)P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+-＝ .7、已知平面向量()()1,1,2,a b n ==b a ⋅=+，则______n =.8、已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 9、函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为.10、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， －2≤x ≤0，x －1， 0＜x ≤2，若函数g (x )＝f (x )－ax ，x ∈[－2,2]为偶函数，则实数a 的值为 ． 11、若函数()()sin f x x θ=-（0θ>）的图象关于直线π6x =对称，则θ 的最小值为 ．12、在平面直角坐标系x O y 中,已知=(3,﹣1),=(0,2).若•=0,=λ,则实数λ的值为 .13、设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为 ．14、已知βα,均为锐角，且,sin sin )cos(βαβα=+则αtan 的最大值是 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
） 15、（本小题满分14分）记函数1)3lg()(-+-=x x x f 的定义域为集合,Aa x g x +=2)(的值域为集合.B（1） 若,2=a 求B A 和B A ； （2） 若,B B A = 求a 的取值范围.16、（本小题满分14分）已知向量()()k ,2,2,6-==，k 为实数 （1） 若b a //，求k 的值； （2） 若b a ⊥，求k 的值；（3） 若与的夹角为钝角，求k 的取值范围.17、（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)．（1）求φ的值；（2）若f (α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π6)的值．18．（本小题满分16分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD ，其中AB ＝40 米，BC ＝30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH ，要求A 、B 、C 、D 四个点分别在矩形EFGH 的四条边(不含顶点)上．设∠BAE ＝θ，EF 长为y 米． （1）将y 表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH 的面积的最大值．(第18题图)A BCDFGHθ19、（本小题满分16分）已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．20、（本小题满分16分）设函数)10)1()(≠>-+=-a a a k a x f xx 且（是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若0)1(>f ，试判断函数单调性,并求使不等式0)2()(2>-++x t f x x f 恒成立的t 的取值范围； （3）若()312f =，设)(2)(22x mf a a x g xx -+=-，)(x g 在[)1,+∞上的最小值为1-，求m 的值.2015-2016学年第一学期期末考试高一年级数学试卷答案一、填空题1、 {2}2、π41 3、 3 4、45、326、57、38、619、f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 10、21 11、32π 12、213、-10 14、42二、解答题 15、（1）由⎩⎨⎧≥->-0103x x ，解得31<≤x ，所以).3,1[=A …………………2分若,2=a 则),2(+∞=B ……………………………4分 所以，).,1[).3,2(+∞==B A B A ……………………………8分 （2）).3,1[=A ),(+∞=a B ………………………………10分B A B B A ⊆∴=, ， ………………………………12分1<∴a ，则a 的取值范围是).1,(-∞ ……………………………14分17、（1）因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)，所以f (π2)＝2sin(π＋φ)＝－2，即sin φ＝1． …………………… 4分因为0＜φ＜2π，所以φ＝π2． ………………………………… … 6分 （2）由（1）得，f (x )＝2cos2x ． …………………………………… 8分 因为f (α2)＝65，所以cos α＝35． 又因为－π2＜α＜0，所以sin α＝－45． …………………………… 10分所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝－725． ……… 12分从而sin(2α－π6)＝sin2αcos π6－cos2αsin π6＝7－24350． … 14分18、19、解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，20、解：(1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k ＝0， ……………………2分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f x x 且 由0)1(>f 得到1>a ，x a 单调递增，x a -单调递减，故f (x )在R 上单调递增。
……………………4分不等式化为)2()(2t x f x x f ->+，t x x x ->+∴22，02>+-∴t x x 恒成立， ……6分041<-=∆∴t ，t 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>41t t ； ……………………8分 (3)∵f (1)＝32，231=-∴a a ，即,02322=--a a （舍去）。
或212-==∴a a (10)分∴g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令t ＝f (x )＝2x－2－x，由(1)可知f (x )＝2x －2－x为增函数，∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝32，令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2(t ≥32) ……………………12分若m ≥32，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝-1，∴m ＝3±，∴m ＝3若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－1，解得m ＝47>32，舍去。
综上可知m＝3…………………16分.。