江苏省大丰区新丰中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上 1. 已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为( )A. 2-B. 1-C. 1-或2-D. 2-或3-2． 已知向量()m m a ,1-=，()2,1-=b ，且b a ⊥，则=m （ ）A ．3B ．31C ．2D ．2-3． 若扇形的面积为16,圆心角为2rad ,则该扇形的弧长为（ ）cmA ．4B ．8C ．12D ．16 4． 已知幂函数()x f 过点124（，），则()x f 在其定义域内（ ） A ．为偶函数 B ． 为奇函数 C ．有最大值 D ．有最小值5． 已知sin ,cos αα是方程220x x m --=的两个根，则=m （ ） A ．43 B ．34- C ．12 D ．12- 6． 已知函数()⎩⎨⎧≤>=,0,2,0,log 2x x x x f x 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f 的值是（ ） A ．21B ．22C ．4D ．417. 已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则BE =u u u r（ ）A. 3144AB AC -+u u u r u u u rB. 3144AB AC -u u ur u u ur C. 1344AB AC -+u u u r u u u r D. 1344AB AC -u u ur u u u r 8. 函数()2xx f x x⋅=的图象大致为（ ）A. B. C. D.9．已知函数3()cos sin 1f x x x =⋅-，若()43-=a f ，则()=-a f （ ） A ．43 B ．43- C ．45 D ．45-10．在ABC ∆中，已知BC 边上的中线AD 长为2，2=BC ，则=⋅AC AB （ ）A ．12B ．12-C ．3D ．3-11. 设函数()2,,x x af x x x a<⎧=⎨≥⎩，对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. []0,1C. []0,2D. (]0,212. 已知函数既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是（ ）二、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.）13．实数x 满足3log 1sin x =+θ，则()2log 19x x -+-=____________．14. 已知单位向量a r 、b r，则下面所有正确的式子有____________．(1) 1a b ⋅=r r (2)22a b =r r (3) a b =r r (4) 0a b -=r r15. 已知函数2sin()y x ωϕ=+为偶函数，其中0,0ωφπ><<.若此函数的最小正周期为π，那么tan()3πωφ+=____________．16. 如果函数 y = f(x) 在其定义域内存在实数0x ，使得 f(k 0x ) = f(k)f(0x )(k 为常数) 成立，则称函数 y = f(x) 为“对 k 的可拆分函数”. 若()21x af x =+为“对 2 的可拆分函数”，则非零实数 a 的最大值是____________．三、解答题.（本大题共6题，共70分.请同学们写出必要的解题步骤.） 17．（本小题满分10分）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()4,2=AB ，()3,1=AC ． （1）求DAB ∠cos 的值； （2）求AD BD ⋅的值．18. （本小题满分10分）已知函数5()151x x a f x ⋅=-+，()3,2x b b ∈-是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）若()(1)0f m f m +-<，求m 的取值范围.19．（本小题满分12分）函数()()ϕω+=x A x f sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>2π,0,0ϕωA 的图象如图所示.（1）求函数()x f 的解析式和单调增区间； （2）将函数()x f 的图象向左平移3π个单位长度，得到()x g 的图象，求函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,0上的最值并求出相应x 的值．20．（本小题满分12分）已知θ为第一象限角，()()1,sin πθ-=a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=52,2sin θπb ． （1）若//a b r r，且角θ的终边经过点()2,x ，求x 的值；（2）若510=+b a ，求θtan 的值．21．（本小题满分12分）某企业为打入国际市场，决定从A B 、两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计[6,8]m ∈.另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.（1）写出该厂分别投资生产A B 、两种产品的年利润12y y 、与生产相应产品的件数x 之间的函数关系，并指明其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.22. （本小题满分14分）已知函数()()224220g x ax ax b a =-++>，在区间[]2,3上有最大值8，有最小值2，设()()2g x f x x=．（1）求,a b 的值； （2）不等式()220xxf k -⋅≥在[]1,1x ∈-时恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若方程()21301xxf e k e ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．高一数学试题 答案一、选择题.（本大题共12题，每题5分，共60分.） 1-5 CBBAA 6-10 DABDC 11-12BC二、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.） 13. 314. (2)(4) 15．3 16.()5212+三、解答题.（本大题共5题，共70分.请同学们写出必要的解题步骤.） 17. 解:(1)Θ四边形ABCD 为平行四边形∴()()()1,14,23,1--=-=-==AB AC BC AD ………………………2分 10103164242||||cos -=+⋅--==∠∴AB AD AB AD DAB ………………………5分(2) ()()()5,34,21,1--=---=-=AB AD BD ………………………7分 ()()()8535131=+=-⨯-+-⨯-=⋅AD BD ………………………10分18．【详解】（1）因为函数5()151x x af x ⋅=-+，()3,2x b b ∈-是奇函数所以320b b -+=，解得1b =， 所以()f x 定义域为()2,2- 由()00f =，得1011a-=+，解得2a =. ………………………4分 （2）因为()f x 为奇函数，所以()(1)0f m f m +-<得到()()()11f m f m f m <--=-25()151xxf x ⋅=-+，()2,2x ∈- ()252115151x x x f x ⋅=-=-++，因为5xy =单调递增，所以()2151x f x =-+单调递减， ………………………7分 所以由()()1f m f m <-得122212m m m m >-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩，解得122213m m m ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪-<<⎪⎩所以得到m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭………………………10分19. .解：(1)①由图知: 2=A 431296121143ππππ==-=T ||2w T ππ==∴2||=∴w 0>w Θ 2=∴w ………………………2分 )2sin(2)(ϕ+=∴x x f⎪⎭⎫⎝⎛2,6)(π过由图知x f Θ2)26sin(2)6(=+⨯=∴ϕππf1)3sin(=+∴ϕπZ k k ∈+=+∴,223ππϕπZ k k ∈+=∴,26ππϕ2||πϕ<Θ6πϕ=∴)62sin(2)(π+=∴x x f………………………4分②Z k k x k ∈+≤+≤-,226222πππππΘZ k k x k ∈+≤≤-∴,63ππππZ k k k x f ∈+-∴],6,3[)(ππππ增区间………………………6分(2))652sin(2]6)3(2sin[2)(πππ+=++=x x x g ………………………8分]611,65[652]2,0[ππππ∈+∴∈x x Θ2-)(323652取最小值为时，，即当x f x x πππ==+∴ 1)(065652取最大值为时，，即当x f x x ==+ππ.………………………12分20. 解：(1) ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=52,cos ,1,sin θθ//Θθθcos sin 52=∴………………………3分因为θ为第一象限角，所以25cos sin tan ==θθθ………………………4分 又x 2tan =θ，所以54=x . ………………………6分 (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+53,sin cos θθ510=所以()251sin cos 2=-θθ. ………………………8分 即2512cos sin =θθ. ………………………10分 所以2512cos sin cos sin 22=+θθθθ， 即2512tan 1tan 2=+θθ所以3443tan 或=θ ..………………………12分 (另解：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+±=-1cos sin 51cos sin 22θθθθ同样给分)21. 试题解析：（1）设年销售量为x 件，按利润的计算公式，得生产A 、B 两产品的年利润12y y 、分别为： ()()1y 10x 20mx 10m x 20,0x 200=-+=--≤≤,且x N ∈;………………………3分()()2222y 18x 408x 0.05x 0.05x 10x 400.05x 100460=-+-=-+-=--+,0x 120≤≤，且x N ∈. ………………………5分（2）因为6m 8≤≤，所以10m 0->，所以()1y 10m x 20=--为增函数,又0x 200,≤≤且x N ∈，所以x 200=时，生产A 产品有最大利润为:()10m 200201980200m -⨯-=-(万美元). ………………………7分又()22y 0.05x 100460=--+, 0x 120,≤≤且x N ∈,所以x 100=时，生产B 产品有最大利润为460(万美元) , ………………………9分作差比较：()()()12max max y y 1980200m 4601520200m -=--=-,令15202000m ->，得67.6m ≤<；令15202000m -=，得7.6m =；令15202000m -<，得7.68m <≤.所以当6m 7.6≤<时，投资生产A 产品200件获得最大年利润；当7.6m 8<≤时，投资生产B 产品100件获得最大年利润；当m 7.6=时，投资生产A 产品和B 产品获得的最大利润一样. ………………………12分22. 【详解】（1）()22422(0)g x ax ax b a =-++>开口向上，对称轴为1x =， 所以在[]2,3上单调递增，因为()g x 在区间[]2,3上有最大值8，有最小值2，所以有()()2238g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即882221812228a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩解得1a =，0b = ………………………4分 （2）()2242g x x x =-+，所以()()122g x f x x x x==+-， 因为[]1,1x ∈-，令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦由不等式(2)20x xf k -⋅≥在[1,1]x ∈-时恒成立， 得()0f t kt -≥在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，则12t t kt +-≥，即2212111k t t t ≤⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则11,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2110t ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥ 所以得0k ≤. ………………………9分（3）设1x m e =-，则方程2(1)(3)01x xf e k e -+-=- 可转化为()230f m k m ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即12230m k m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭整理得()232210m k m k -+++=根据1xm e =-的图像可知，方程()21301xxf e k e ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭要有三个不同的实数解， 则方程()232210m k m k -+++=的要有两个不同的实数根一根在()0,1之间，一根等于1，或者一根在()0,1之间，一根在()1,+∞， 设()()23221h m m k m k =-+++①一根在()0,1之间，一根等于1时，()()001032012h h k ⎧⎪>⎪=⎨⎪+⎪<<⎩，即21013221032012k k k k ⎧⎪+>⎪--++=⎨⎪+⎪<<⎩， 解得120203k k k ⎧>-⎪⎪=⎨⎪⎪-<<⎩，所以无解集②一根在()0,1之间，一根在()1,+∞时，()()0010h h ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即1200k k +>⎧⎨-<⎩，解得12kk⎧>-⎪⎨⎪>⎩，所以0k>.综上所述，满足要求的k的取值范围为0k>. ……………………14分。