r ( A)
r()
3,因此,
1
,即 A
1
1
.
1
0
0
二、填空题
(9)【答案】 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 3 22 2 0 ,因式分解得
2 2 2 22 1 0 ,
解得特征根为 2, i ,所以通解为 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
显然 lim f (x) 1 11 2 ,所以 x 1为连续点.
x1
2
2
而 lim f (x) lim x(x 1)
x1
x1 (x 1)(x 1)
1
1 x2
,所以 x 1 为无穷间断点,故答案选择
B.
(2)【答案】 (A)．
【解析】因 y1 y2 是 y P x y 0 的解,故 y1 y2 P x y1 y2 0,所以
3
明：存在 (0, 1) , (1 ,1) ,使得 f ( ) f ()= 2 2.
2
2
(22)(本题满分 11 分)
11 a
设
A
0
1
，b
1
,已知线性方程组
Ax
b
存在两个不同的解．
1
( I ) 求 ,a; ( II ) 求方程组 Ax b 的通解.
(23)(本题满分 11 分)
(4)【答案】 (D).
【解析】 x 0 与 x 1都是瑕点.应分成
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
0
nx
dx 2 0
nx
dx 1 2
nx
dx ,
1
[ln2 (1 x)]m
1 m ln2 1 x
用比较判别法的极限形式,对于 2 0
nx
dx ,由于 lim x0
1
(A)
1
.
1
0
1
(B)
1
.
1
0
1
(C)
1
.
1
0
1
(D)
1
.
1
0
二、填空题(9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.)
(9) 3 阶常系数线性齐次微分方程 y 2y y 2y 0 的通解为 y .
(10) 曲线 y 2x3 的渐近线方程为 . x2 1
2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题(1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.)
(1)
函数
f
x
x2 x x2 1
1
1 x2
的无穷间断点的个数为(
)
(A) 0.
(B) 1.
(11) 函数 y ln 1 2x在x 0 处的 n 阶导数 yn 0 = .
(12) 当 0 时,对数螺线 r e 的弧长为 . (13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加 ,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加 .则当 l 12cm , w 5cm 时,它的对角线增加的速率为 .
2t t (t)
2
,
(t
1) 所确定,其中 (t) 具有
2
阶导数,且
数学（二）试题 第 2 页 （共 13 页）
(1)
5 ， 2
(1)
6. 已知
d2y dx2
3 4(1
t)
,
求函数
(t)
.
(18)(本题满分 10 分)
一个高为 l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a ,短轴为 2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当
n i1 n i n n i1 1 ( i ) 0 1 x
n
nn
n
n1
n1
lim
n i1 j1 n i
n2 j2
lim(
n
j 1
n2
j2 )( i1
) ni
(lim n
n j 1
n2
n
j2 )
(lim n
n i 1
n) ni
(
1 1 dx)( 01 x
11 0 1 y2
(10) 【答案】 y 2x .
2x3 【解析】因为 lim x2 1 2 ,所以函数存在斜渐近线,又因为
x x
lim
x
2x3 x2 1
2x
lim
x
2x3
2x3 x2 1
2x
0
,所以斜渐近线方程为
y
2x
.
(11)【答案】 2n n 1!.
【解析】由高阶导数公式可知 ln(n) (1 x) (1)n1 (n 1)! , (1 x)n
r s ,选(A).
(8) 【答案】 (D).
【解析】：设 为 A 的特征值,由于 A2 A O ,所以 2 0 ,即 ( 1) 0 ,这样 A 的
特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即 A ,
1
1
f
(x)
x2 x x2 1
1
1 x2
有间断点 x 0, 1,又因为
lim f (x) lim x(x 1) 1 1 lim x 1 1 ,
x0
x0 (x 1)(x 1) x2 x0
x2
其中 lim x x0
1 1 x2
1, lim x x0
1 1 x2
1,所以 x 0 为跳跃间断点.
(A) 若向量组 I 线性无关,则 r s .
(B) 若向量组 I 线性相关,则 r s .
数学（二）试题 第 1 页 （共 13 页）
(C) 若向量组 II 线性无关,则 r s .
(D) 若向量组 II 线性相关,则 r s .
(8) 设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A2 A O ,若 A 的秩为 3,则 A 相似于 ( )
所以 2x a ,即 x a (x 0) .又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在 y x2 上,
x
2
当 x a 时 y a ；在 y a ln x 上, x a 时, y a ln a a ln a .
2
2
2
222
所以 a a ln a .从而解得 a 2e .故答案选择(C). 222
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A 3，B 2, A1 B 2 ,则 A B1 = .
三、解答题(15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 11 分)
求函数 f (x) x2 (x2 t)et2 d 的单调区间与极值. 1
(B) 仅与 n 的取值有关. (D) 与 m, n 取值都无关.
(5) 设 函 数 z z( x,
y), 由 方 程 F ( y , z ) xx
0确 定 , 其 中 F 为 可 微 函 数 , 且 F2 0 , 则
x z y z ( ) x y
(A) x .
(B) z .
nn
(6) lim
n
()
n i1 j1 n i n2 j2
(C) x .
(D) z .
1
x
(A) dx
1
dy .
0 0 1 x 1 y2
(B)
1
0
dx
x
0
1
x
1
1
y
dy
.
(C)
1
0
1
dx0
1
1
x 1
y
dy
.
1
1
(D) dx
1
dy .
0 0 1 x 1 y2
(7) 设向量组 I :1,2, ,r 可由向量组 II : 1, 2, , s 线性表示,下列命题正确的是( )
1
xn 1
1 2
xn m
1.
显然,当 0 1 2 1,则该反常积分收敛. nm
1
当
1 n
2 m
0,
lim
x0
[ln2 (1
1
x)]m
存在,此时
1 m ln2 1 x
2
0
nx
dx 实际上不是反常积分,故收
xn
敛.
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
故不论 m, n 是什么正整数, 2 0
2
2
(D) 2 , 2 . 33
(3) 曲线 y x2 与曲线 y a ln x(a 0) 相切,则 a ( )
(A) 4e.
(B) 3e.
(C) 2e.
(D) e.
1 m ln2 1 x
(4) 设 m, n 是正整数,则反常积分 0
dx 的收敛性 ( ) nx
(A) 仅与 m 的取值有关. (C) 与 m, n 取值都有关.
y1
P
x
y1
y2
p(x) y2
0
,
而由已知 y1 P x y1 q x, y2 P x y2 q x ,所以
qx 0,
①
又由于一阶次微分方程
是非齐的,由此可知 qx 0 ,所以
数学（二）试题 第 4 页 （共 13 页）
0．
由于 y1 y2 是非齐次微分方程 y P x y q x 的解,所以
(16)(本题满分 10 分)