P
二、转角(slope)：横截
A
w
Bx
y
C1

面绕其中性轴转动的角
度。用 表示，顺时针
转动为正，反之为负。
三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑弹性曲线(elastic curve)，
该曲线称为挠曲线。其方程为：
w = f (x)
四、转角与挠度的关系： tan = dw 小变形 = w = f (x)(1)
Pa 2 4 EI

qA=
qa 3 3 EI
w PC =
Pa3 6EI
wqC =
5qL4 24EI
、叠加
a = PA qA
= a 2 (3P 4qa) 12EI
wC =
5qa4 24EI

Pa3 6EI
刚度校核
6 刚度校核

一、梁的刚度条件
wmax L

w L
max
2 弯曲切应力
1. 工字形截面
(1)腹板部分的切应力
h h0
O
b0
yz
max

=
Fs
S
z
Iz b
min
Sz
=
b 8
h2 h02

b0 2

h02 4

y2

y
y =0:
y = h0 : 2
max
=
Fs 8Iz
b b0
h2

h02

1

b0 b
4 挠曲线微分方程
4 写出挠曲线方程并画出曲线
AD段
DB段
=
Pb 1 2LEI 3
L2 b2

x
2

Pb 2LEI

L b
x

a 2

x2

1 3
L2
b2

w = Pbx L2 b2 x2 6LEI
Pb 6LEI

L b

PbL2 9 3EI
= 0.0642 PbL2 EI
wC
PbL2 16EI
= 0.0625 PbL2 EI
工程近似: 简支梁，挠曲线无拐点时，其最大挠度值用梁跨中点处的挠度值来代 替。
wmax wC
4 挠曲线微分方程
练习：用积分法求wc。
3 qa
4
A
q
9 qa B
C
2a
4
a
AB段
(0 x 2a)

min
=
Fs 8Iz
b b0
h2 h02
腹板：承担大部分 剪力，且切应力接 近于均匀分布。
(2)翼缘上的切应力：很小，不计。承担大部分弯矩。
剪应力流：剪应力顺着一个转向流动。
2 弯曲切应力
切应力强度条件 1、危险面与危险点分析：
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。
T字头在上面合理 A4
弯曲切应力 与强度校核
2 弯曲切应力
切应力的计算公式为：
1
=
Fs
S
z
bI z
其 中Fs为 截 面 剪 力 ，Sz为y点 以 外 的 面 积 对 中 性 轴的 静 矩 ， Iz为 整 个 截 面 对 中 性 轴 的惯 性 矩 ，b为y点 处 的 截 面 宽 度 。
例4-4-1、T 字形截面的铸铁梁受
A
P1 =9kN
C
B
P2 =4kN
D
力如图，铸铁的[st]=30 M Pa，
1m
1m
1m
[sc]=60 M Pa.其截面形心位于C
-4k N m
点，y1=52mm， y2=88mm，Iz
=763cm4 ，试校核此梁的强度。
x
并说明T字梁怎样放置更合理？
M
2.5kNm
2 弯曲切应力
例5 4 2：简支梁由三块木板胶合而成，尺寸如图。胶合缝的容许切应力
= 0.5MPa，试按胶合缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载P。
P
x
A
C
1.5m 1.5m
(b)

x
B
90
40 解：分析胶合缝的剪应力
40 40
(b)，(c)图

=
Fs
S
* z
bIZ
=
P 2
b h 3
x

a3

x3

( L2

b2
) x
P
A
C
D
x B
B
y
L/2
4 挠曲线微分方程
5 最大挠度及最大转角
a>b
max
= B
=

Pab( L a) 6LEI
w = 0, w = wmax
在x1 =
l 2 b2 =
3
Pb wmax = 9 3LEI
( L2 b2 )3
aa 2b处
4 挠曲线微分方程
2、位移边界条件 A
P
C
B
D
P
、支点位移条件：
wA = 0 wB = 0 wD = 0
D = 0
、连续条件： wC = wC
C = C
或写成wC 左 = wC 右
或 写 成 C 左 = C 右
4 挠曲线微分方程
例 5-2-1：求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
(P1P2 Pn ) = 1(P1 ) 2(P2 ) n (Pn )
w(P1P2 Pn ) = w1(P1 ) w2(P2 ) wn (Pn )
5 叠加原理
A a
P q
C a
s
max
=
M Wz
Wz
=
Iz ymax
Wz –弯曲截面系数
1 弯曲正应力
h b
d
d
= d
D
D
矩形 Wz
=
bh3 6
圆形 Wz
=
d 3
32
圆环-Wz
=
Iz ymax
= D3
32
(1 4 )
1 弯曲正应力
梁的正应力强度条件 1、危险面与危险点分析：
最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；
PL2 2EI
wmax
=
w
x=l
=
PL3 3EI
4 挠曲线微分方程
例 5-2-2： 求梁的最大挠度和最大转角。
解: 1梁的约束反力:
RA
A
p RB
D
Bx
RA
=
P
b L
，
RB
=
P
a L
y
a
b
L
2 写出微分方程并积分
AD段( 0 )x a
DB段( a x) L
EIw = P b x

C2

1 8
qax3

1 24
qx4

3 8
qa(
x

2a)3

C2
x

D2
4 挠曲线微分方程
应用位移边界、连续性条件求积分常数
EIw(0) = D1 = 0
EIw(2a ) = EIw(2a ) 即 C1 = C2 EIw(2a ) = EIw (2a ) 即 D1 = D2 = 0
3
当a>b时，x1值将小于a ，且x1>l/2(中点右边)。也就是说，最大挠度在第一段梁上。 b越小，x1越大，越远离中点。
P
A
C
D
x B
B
y
L/2
4 挠曲线微分方程
Pb wmax = 9 3LEI
( L2 b2 )3
6 讨论
梁 中 点 ，wC
=
Pb 48EI
(3L2
4b2 )
b很 小 时 ，wmax
b bh3
h 3
12

(c)
x
= 2P
3bh
P 3bh = 3 90 120 0.5
2
2
= 8.1kN
梁的位移
3 梁的位移
梁的位移－挠度及转角
3 梁的位移
一、挠度(deflection)：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。
用 w 表示。向下为正，向上为负。
w = M ( x) (2) EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程
4 挠曲线微分方程
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIw = M( x)
二、求挠曲线（弹性曲线）方程 1、微分方程的积分
EIw = M( x) EIw = ( M( x))dx C EIw = ( ( M( x))dx)dx Cx D
考研材料力学（第七次课，弯曲位移）
武汉理工大学力学系
学生：王铭皓 杨老师-邮箱59795474@
目录
01
弯曲正应力 与强度校核
02
弯曲切应力 与强度校核
03 梁的位移
04
挠曲线近似微 分方程与积分
05 叠加原理
06 刚度校核
弯曲正应力 与强度校核
1 弯曲正应力
s =M y
Iz
最大正应力：
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M( x) = P( x L)