佛山市南海区2020届普通高中高三质量检测理科数学试题2020.8 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A I 等于（ ）（A ）{|01}x x << （B ）{}21<<x x （C ）{}20<<x x （D ） {|2}x x > 2．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ）（A ） 1 （B ） 1- （C ） （D ）3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）（A ） 1 （B ）53（C ） 2 （D ） 3 4．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是： （A ）假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 （B ）假设a ，b ，c 至多有两个偶数 （C ）假设a ，b ，c 都是偶数 （D ）假设a ，b ，c 都不是偶数5．若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．101x ⎫⎪⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（ ）（A ） 0 （B ） 2 （C ） 4 （D ） 67．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ）（A ） 4 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 328．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x-=,12y x=,2(1)y x=-,3y x=中有三个是增函数；②若log3log30m n<<，则01n m<<<；③若函数()f x是奇函数，则(1)f x-的图象关于点(1,0)A对称；④已知函数233,2,()log(1),2,x xf xx x-⎧≤=⎨->⎩则方程1()2f x=有2个实数根，其中正确命题的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．若3sin5α=-，且tan0α>，则cosα=．10．已知圆C：22680x y x+-+=，若直线y kx=与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．11．一个几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为．12．如右上图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则(|)P B A=．13．在等差数列{}n a中，若*(,1)m na p a q m n N n m==∈-≥，，，则m nnq mpan m+-=-．类比上述结论，对于等比数列{}n b（*0,nb n N>∈），若mb r=，nb s=（2n m-≥，*,m n N∈），则可以得到m nb+=．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心．已知6=PA ，317=AB ，12=PO ．则圆O 的半径____=R ．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦长是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题满分12分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最大值．17．（本小题满分12分）为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

（1） 若该班男女生平均分数相等，求x 的值；（2） 若规定85分以上为优秀，在该10名男生中随机抽取2名，优秀的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为2=24+1n S n n +，数列{}n b 的首项1=2b ，且点1(,)n n b b +在直线2y x =上．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =g，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 女生 男生 2 6 0 2 48 7 97 4 8 x 8 4 9 0 1 2 819．（本小题满分14分）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点A '，连接EF ，A B '． （1）求证：A D EF '⊥；（2）求二面角A EF D '--的余弦值．20．（本小题满分14分）设P 是曲线1C 上的任一点，Q 是曲线2C 上的任一点，称PQ 的最小值为曲线1C 与曲线2C 的距离.（1）求曲线1:xC y e =与直线2:1C y x =-的距离；（2）设曲线1:x C y e =与直线3:C y x m =-（0m R m ∈≥，）的距离为1d ，直线2:1C y x =-与直线3:C y x m =-的距离为2d ，求12d d +的最小值.21．（本小题满分14分）已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x L 满足条件： ①10nii x==∑； ②11ni i x ==∑．（Ⅰ） 当2n =时，求1x ，2x 的值；（Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥L ,且1n a a >(2)n ≥，求证：111()2ni in i a x a a =≤-∑． 南海区2020届普通高中高三质量检测理科数学试题参考答案2020、8 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.1-4 BA C D 5-8 CBDC二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(9～13题)9、 45- 10、4- 11、75+ 12、 14 13、n m n b +=（二）选做题：14、8； 15、2三、解答题 本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．【解析】2()2sin (sin cos )2sin 2sin cos f x x x x x x x =+=+……1分1cos2sin 2x x =-+……2分2(22)122x x =-+……3分2coscos 2sin )144x x ππ=-+……4分)14x π=-+……5分 （1）()f x 的最小正周期22T ππ==……7分（2）∵02x π≤≤，∴32444x πππ-≤-≤……8分∴当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 取得最大值……10分且最大值为3()1182f ππ=+=……12分17．解：（1）依题意可得，627884879460626479808890919298510x ++++++++++++++=， 1分∴ x =6.------------------------------3分（2）由茎叶图可知，10名男生中优秀的人数为6人。

-----------------------------4分 ∴242102(0)15C P C ξ===,------------------------------6分11462108(1)15C C P C ξ===g ,-----------------------------8分262101(2)3C P C ξ===,---------------------------10分∴312816()012151535iii E P ξξ===⨯+⨯+⨯=∑g ．答：ξ的数学期望为65． -------------------------12分18．解：（1）由2=24+1n S n n +得2-1=2141)+1n S n n -+-（）（， --------1分 ∴22-1=24+12141)1=42(2)n n n a S S n n n n n n =-+-----+≥（）（ ---------2分当n =1时，1=7a ， -----------------------------3分综上42(2)7(1)n n n a n +≥⎧=⎨=⎩． --------------------------4分∵点1(,)n n b b +在直线2y x =上，∴12n n b b +=，又1=2b ， ------------------5分∴{}n b 是以2为首项2为公比的等比数列，2n n b =． ------------------7分（2）由（1）知，当1n =时，11114c a b ==g； --------------8分当2n ≥时，1(42)2(21)2n n n n n c a b n n +==+=+gg g ， ---------------9分所以当1n =时，1114T c ==；当2n ≥时，31123...1452...(21)2(21)2n n n n T c c c c n n +=++++=+⨯++-++gg ① 则41222852...(21)2(21)2n n n T n n ++=+⨯++-++gg ② - ---------10分②-①得：356221452222(21)2n n n T n ++=-⨯----++L g-------------12分即523222(21)1452(21)2(21)2621n n n n T n n -++-=-⨯-++=-+-g g ， ---------------13分显然，当1n =时，121(211)2614T +=⨯-+=g， 所以2(21)26n n T n +=-+g ． ----------------14分19．【解析】（1）在正方形ABCD 中，有AD AE ⊥，CD CF ⊥ ……1分 则A D A E ''⊥，A D A F ''⊥ ……2分 又A E A F A '''=I ……3分 ∴A D '⊥平面A EF ' ……4分 而EF ⊂平面A EF '，∴A D EF '⊥ ……5分 （2）方法一：连接BD 交EF 于点G ，连接A G ' ……6分 ∵在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴BE BF =，DE DF =， ∴点G 为EF 的中点，且BD EF ⊥ ……7分∵正方形ABCD 的边长为2，∴1A E A F ''==，∴A G EF '⊥ ……8分 ∴A GD '∠为二面角A EF D '--的平面角 ……9分 由（1）可得A D A G ''⊥，∴△A DG '为直角三角形 ……10分 ∵正方形ABCD 的边长为2， ∴22BD =，2EF =，∴22BG =，2322222DG =-=， 又2A D '= ……11分 ∴ 2292422A G DG A D ''=-=-= ……12分∴212cos 3322A G A GD DG ''∠=== ……13分 ∴二面角A EF D '--的余弦值为13……14分 方法二：∵正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴1BE BF A E A F ''====，∴2EF =……6分∴222A E A F EF ''+=，∴A E A F ''⊥ ……7分 由（1）得A D '⊥平面A EF '， ∴分别以A E '，A F '，A D '为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz '-， ……8分则(0,0,0)A '，(1,0,0)E ，(0,1,0)F ，(0,0,2)D ……9分 ∴(1,0,2)DE =-u u u r ，(0,1,2)DF =-u u u r，设平面DEF 的一个法向量为1(,,)n x y z =u r ，则由112020n DE x z n DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r， 可取1(2,2,1)n =u r……11分Gxyz又平面A EF '的一个法向量可取2(0,0,1)n =u u r……12分∴1212121cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r ……13分 ∴二面角A EF D '--的余弦值为13. ……14分20．解：（1）只需求曲线1C 上的点到直线1y x =-距离的最小值. ……1分设曲线1C 上任意一点为(,),xP x e 则点(,)xP x e 到1y x =-的距离为d ==……3分令()1x f x e x =-+,则()1x f x e '=-,由()100xf x e x '=->⇒>；()100;()100.x x f x e x f x e x ''=-<⇒<=-=⇒= ……5分故当0x =时, 函数()1xf x e x =-+取极小值即最小值(0)2f =，即d =，故曲线1C 与曲线2C； ……8分（2）由（1）可知，1d =，又易知2d = ……9分则)12|1||1|d d m m +==++-≥= ……12分 当且仅当(1)(1)0m m +-≤时等号成立，考虑到0m ≥，所以，当01m ≤≤时，12d d +……14分21．（Ⅰ）解：12120,(1)1.(2)x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由（1）得21x x =-，再由（2）知10x ≠，且20x ≠.当10x >时，20x <.得121x =，所以121,21.2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ……………………………2分当10x <时，同理得121,21.2x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ………………………………4分（Ⅱ）证明：当3n =时，由已知1230x x x ++=,123=1x x x ++.所以12311233322()x x x x x x x x ++=+++-13x x =-131x x ≤+≤. …………………………9分（Ⅲ）证明：因为1i n a a a ≥≥，且1n a a >(1,2,3,,)i n =L .所以1()()i i n a a a a ---1()()i i n a a a a ≤-+-1n a a =-,即112n i n a +a a a a -≤- (1,2,3,,)i n =L . ………………………11分1n i i i a x =∑n1i 1111122n n i i i n ii i a x a x a x ====--∑∑∑111(2)2ninii a a a x==--∑111(22n n i i i a a a x =≤+-∑)111()2nn i i a a x =≤-∑ 1112nnii a a x==-∑11()2n a a =-. …………………………14分。