湖南省长郡中学2021届高三数学入学摸底考试试题本试题卷共8页,22小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x∈N|<2x +1<16},B ={x|x 2-4x +m =0},若1∈A∩B,则A∪B=12A.{1,2,3}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}2.已知复数z 满足z(1+2i)=|4-3i|(其中i 为虚数单位),则复数z 的虚部为A.-2B.-2iC.1D.i3.f(x)=的部分图象大致是1cosxx4.饕餮(tāo tiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期。
有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1,有一点P 从A 点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过3次跳动后,恰好是沿着餮纹的路线到达点B 的概率为A. B. C. D.1214116185.已知椭圆C :的右焦点F ,点P 在椭圆C 上,点Q 在圆E :(x +3)22221(0)x y a b a b+=>>2+(y -4)2=4上,且圆E 上的所有点均在椭圆C 外,若|PQ|-|PF|的最小值为6,且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等,则椭圆C 的标准方程为A. B. C. D.2212x y +=2214x y +=22143x y +=22142x y +=6.命题p :f(x)=x +alnx(a∈R)在区间[1,2]上单调递增;命题q :存在x∈[2,e],使得-e +4+2a≥0成立(e 为自然对数的底数),若p 且q 为假,p 或q 为真,则实数a 的1ln x x-取值范围是A.(-2,-) B.(-2,-)∪[-1,+∞) C.[-,-1) D.(2,-)32323232∪[1,+∞)7.已知A(2,1)B(,0),C ,D 四点均在函数f(x)=log 2的图象上,若四边形ABCD 为23ax x b+平行四边形,则四边形ABCD 的面积是A. B. C. D.2652635255238.设数列{a n }的前n 项和为S n ,当n∈N *时,a n ,n +,a n +1成等差数列,若S n =2020,且12a 2<3,则n 的最大值为A.63B.64C.65D.66二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.2020年两会“部长通道”工信部部长表示,中国每周大概增加1万多个5G 基站,4月份增加5G 用户700多万人,5G 通信将成为社会发展的关键动力,右图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图。
则A.2022年我国5G 用户规模年增长率最高B.2022年我国5G 用户规模年增长户数最多C.从2020年到2026年,我国的5G 用户规模增长两年后,其年增长率逐年下降D.这十年我国的5G 用户数规模,后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差10.如图已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤)的图象与x 轴交于点2πA ,B ,与y 轴交于点C ,,∠OCB=,|OA|=2,|AD|。
则下列说法正BC 2BD = 3π确的有A.f(x)的最小正周期为12B.φ=-6πC.f(x)的最大值为 D.f(x)在区间(14,17)上单调递增16311.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,过AB 作一垂直于直线B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ,动点M 在直线l 上,则A.B 1C//lB.B 1C⊥lC.点M 到平面BCC 1B 1的距离等于线段AB 的长度D.直线BM 与直线CD 12.若存在实常数k 和b ,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x 都满足:F(x)≥kx+b 和G(x)≤kx+b 恒成立,则称此直线y =kx +b 为F(x)和G(x)的“隔离直线”,已知函数f(x)=x 2(x∈R),g(x)=(x<0),h(x)=2elnx(e 为自然对数的底数),则1xA.m(x)=f(x)-g(x)在,0)内单调递增B.f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且b 的最小值为-4C.f(x)和g(x)间存在“隔离直线”,且k 的取值范围是[-4,1]D.f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”y =x -e三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.三封信随机放入两个不同的信箱中,共有n 种方法,则(2x +)n 展开式的常数项为 1x 。
(用数字作答)14.设a ,b ,c 为单位向量,向量a 与b 的夹角为120°,则(a -c)·(b -c)的取值范围是 。
15.已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,|AB|=2,以M 为圆心的圆过A ,B 两点,且与直线y =1相切。
若存在定点P ,使得当A 运动时,|MA|-|MP|为定值,则点P 的坐标为 。
16.在三棱锥P -ABC 中,PA =PB =PC =2,二面角A -PB -C 为直二面角,∠APB=2∠BPC(∠BPC<),M ,N 分别为侧棱PA ,PC 上的动点,设直线MN 与平面PAB 所成4的角为α。
当tanα的最大值为时,则三棱锥P -ABC 的体积为 。
2532四、解答题:本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)在①数列{a n }为等差数列,且a 3+a 7=18;②数列{a n }为等比数列,且a 2a 6=64,a 2a 3<0;③S n -1=a n -1(n≥2)这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并加以解答。
已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1, 。
(1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数k∈{8,9,10},使S k >512,若存在,求出相应的正整数k 的值;若不存在,请说明理由。
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
18.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,D 在BC 边上,且BD =2DC ,若sin 2A +sin 2C -sin 2B =sinAsinC ,c =2。
23(I)求sinB 的值;(II)设∠BAD=α,∠DAC=β,若△ADC ,求的值。
sin sin αβ19.(本小题满分12分)据相关部门统计,随着电商网购的快速普及,快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长,针对这种大好形式,某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线。
已知该包装胶带的质量以某项指标值k 为衡量标准。
为估算其经济效益,该化工厂先进行了试生产,并从中随机抽取了1000个包装胶带,统计了每个包装胶带的质量指标值k ,并分成以下5组,其统计结果及产品等级划分如下表所示:试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布,并解决下列问题(注:每组数据取区间的中点值):(1)由频数分布表可认为,该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ近似为样本的标准差s ,并已求得s≈10.03。
记X 表示某天x 从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数,求P(X =1)及X 的数学期望(精确到0.001);(2)已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y(单位:元)的关系如下表所示:(t∈(1,4))假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去,且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内),问:该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?试说明理由。
参考数据:若随机变量Z ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<z≤μ+σ)=0.6827,P(µ-2σ<Z≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)=0.9973,0.818629≈0.0030,ln13≈2.6。
20.(本小题满分12分)已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E ,F 分别是棱A 1B 1,AB 的中点,点A 1在底面投影为AC 边的中点O ,A 1C∩AC 1=P ,A 1F∩AE=G。
(1)证明:PG//平面A 1B 1C 1;(2)若AB =6,AA 1=5,点M 为棱A 1B 1上的动点,当直线AM 与平面A 1FC 所成角的正弦值为时,求点M的位置。
21.(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2=2px(p>0)的焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于D ,E 两点,且|DE|=4。
(1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 过点A(2,0)且与抛物线C 交于P ,Q 两点,点R 在抛物线C 上,点N 在x 轴上,,直线PR 交x 轴于点B ,且点B 在点A 的右侧,记△APN 的面积为NP NQ NR 0++= S 1,△RNB 的面积为S 2,求的最小值。
12S S 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数。
(1)若关于x 的不等式mf(x)≤e -x +m -1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围;(2)已知正数a 满足:存在x∈[1,+∞),使得f(x 0)<a(-x 03+3x 0)成立。
试比较e a -1与a e -1的大小,并证明你的结论。