八年级上册数学
最短路径问题
将军饮马问题
绵阳市第五中学
学会
学会求最短路径问题（两条线段的和
最小，三角形的周长最小）.
学会用轴对称变换知识解决问题（典
型问题：将军饮马问题）.
知识点
1.两点的所有连线中，线段最短.
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
3.在一个三角形中，任意两边之和大于第三边.
在一个三角形中，任意两边之差小于第三边.
4.线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等.
5.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一
对对应点所连线段的垂直平分线.
如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？学.科.网.zxxk
两点之间,线段最短F
E D C
B A ①②
③
知识点应用（两定点）
如图：在铁路旁边有
张庄一张庄，现在要建一火车
站，为了使张庄人乘火车
最方便（即距离最近），
请你在铁路上选一点来建
火车站，并说明理由。

垂线段最短
P 所以泵站建在点P 可使输气管线最短··A B
燃气管道l 如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
连接AB,线段AB 与直线l 的
交点P ，就是所求。

将军饮马问题
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
B
A
l
这是一个实际问题，我们首先把它抽象为数学问题。

将A，B 两地抽象为两个点（两个固定的点），将河l 抽象为一条直线（一条固定的直线）．
B
·
A
·
l
（1）从A 地出发，到河边l 某地饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处（运动的点），把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
l
C
A B
l
B ′
C
如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
数学问题（两定点一定直线）
A B
l
B ′
C
如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称
点B ′；
（2）连接AB ′，与直线l 相交
于点C ．
则点C 即为所求．
解决问题作图
B
·
l
A
·
C
C ′
证明：在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′+B ′C ′，
∴AC +BC ＜AC ′+BC ′．即AC +BC 最短．你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
B ·
l
A
·
C
C ′
将A ，B 两地抽象为两个点（两个固定的点，并且在定直线的同侧），将河l 抽象为一条直线（一条固定的直线）．解决问题的方法
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地。

牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路
径最短？
问题解决方法多
解决问题的方法
“两点的所有连线中，线段最短” “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题.
最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.
1.类型
（1）两点
（2）一点（点在直线外）和一直线
（3）两点（点在直线外）和一直线
（3a）两点在直线l的异侧（3b）两点在直线l的同侧
（3a ）两点在直线l 的异侧
（3b ）两点在直线l 的同侧
（4）两点两直线，一点两直线。

C
B
A
C
B A
A ′
l
l
2.转化的关键
（1）、实际生活问题数学问题
（2）、两点在直线同侧问题
两点在直线异侧问题。

转化转化
实际问题
转
化数学问题
最短路径问题（线
段和最小值问题）
将军饮马
轴对称两点在直线异侧的问题两点之间，线段最短
依
据
最短路径问题总结(轴对称)
理解练习
1B处
（1）作AB 的中垂线交l 于点C ，如图.解：l A
B
C
（2）如图.
A’C
如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的动点，请问点E 在BC 的什么位置,可使AE+DE 的值最小.（两定点A 、D ，一定直线BC ）A
B
C D
如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，点P 是对角线AC 上一动点，请问点P 在什么位置,可使EP+BP 的值最小.你能找到吗?（两定点E 、B ，一定直线AC ）A B
C
D E
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
A B
C
P Q 山
河岸大桥解决实际问题（两定点一定直线）
基本思路：
连接PQ ．将河岸抽象为一条直线BC （一条定直线），这样问题就转化为“点P ，Q (两个定点)在直线BC 的同侧，如何在BC 上找到一点R ，使PR 与QR 的和最小”．A B C
P Q 山
河岸大桥。