A
C
C′
l
即 AC +BC 最短．
B′
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5 C．4
B．5 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF 的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.BBFra bibliotek抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上 找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线 l 相交于一点C.
A
C
根据是“两点之间，线段最
l
短”，可知这个交点即为所求.
B
解决问题
如图，平移A到A1，使AA1等于河 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， 此时路径AM+MN+BN最短.
A
A1
M Ｍ１
N
Ｎ１
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
B
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN 转化为AA １ ＋ A１B，而A M１ ＋ M１ N１ ＋BN１ 转化
方案：
A
（1）把A平移到岸边.
（2）把B平移到岸边.
（3）把桥平移到和A相连.
（4）把桥平移到和B相连.
Ｍ
Ｎ
B
（1）把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
A
A'
Ｍ
Ｎ B' B
（2）把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
（3）把桥平移到和A相连.
A Ｍ
Ｎ B
（4）把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN 长度有没有改变 呢？
问题2 如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点，又应该如何解决？
B 想一想：对于问题2，如何将点
B“移”到l 的另一侧B′处，满
A
足直线l 上的任意一点C，都保
持CB 与CB′的长度相等？
l
利用轴对称，作出点B关于直线l 的对称点B′.
B′
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y 轴对称点B′，连接AB′，交
B′
y 轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依
E
据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后
证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和 固 定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点， 而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即 为三角形周长最小时动点的位置.
则点C 即为所求．
B
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C ′(与点C 不重合)，连接AC′， BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
B
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′．
则A到B的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
A MC
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
ND E
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
B
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径 的选择.
线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为
最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数
学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址
问题”.
①
P
②
A ③B
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地， 牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
第十三章 轴对称
最短路径问题
学习目标
1 能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
新课导入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
为AA １ ＋A１N１＋BN１.
在△A１N１B 中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此AM１＋M１N１＋BN１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE,
BD=CE,
∴ A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,
2、造桥选址问题 如图，A和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.
桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直）？
A
B
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径 是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
●A
M
M
N
N
?
●B
思考 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？
随堂训练
1、如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个
水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺
总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而 后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条 件求解.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
点C是 y 轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC
的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
知识讲解
1、牧马人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直