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人教版八年级上册数学 最短路径问题
B.(0,2)
C.(0,1)
D.(0,0)
解析:作B点关于y轴对称点B′,连接AB′,交y轴
于点C′,此时△ABC的周长最小,然后依据点A
与点B′的坐标可得到BE、AE的长,然后证明
B′
△B′C′O为等腰直角三角形即可.
C′ E
方法总结:求三角形周长的最小值,先确定动点所在 的直线和固定点,而后作某一固定点关于动点所在直 线的对称点,而后将其与另一固定点连线,连线与动 点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决? B
A
l 想一想:对于问题2,如何将点B“移”到l 的另一侧B′处,满足直线l 上的任意一点C, 都保持CB 与CB′的长度相等?
利用轴对称,作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法: (1)作点B 关于直线l 的对称点B′;
(2)连接AB′,与直线l 相交于点C.
B.Q是m上到A、B距离之和最短的 点,P是m上到A、B距离相等的点
C.P、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点
D.P、Q都是m上到A、B距离相等 的点
2.如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=
10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若△PQR周长最
小,则最小周长是( A )
A.10
AM+MN+BN长度改变了
3.把桥平移到和A相连. A
M
N
AM+MN+BN长 度有没有改变 呢?
B 4.把桥平移到和B相连.
问题解决
A
如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连 A1 接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径 AM+MN+BN最短.
M M1
N
N1
B
理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1. 由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题:在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个 点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短?
连接AB,与直线l相交于一点C.
根据是“两点之间,线段最短”,
A
可知这个交点即为所求.
C l
B
?
折
●B 移
思维火花 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧 呢?什么图形变换能帮助我们呢?
各抒己见
1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连.
A
M
N
B
1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
A
A'
M
N B'
B
2.把B平移到岸边.
点A、B的坐标分别是A(3,2),B(1,3).点P在x轴上,当PA+PB
的值最小时,在图中画出点P.
y
B
A
O
P
x
B '
5.如图,荆州古城河在CC′处直角转弯,河宽相同,从A处到B处, 须经两座桥:DD ′,EE ′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东 西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短?
ND
E
B
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把未 知问题转化为已解决的问题,从而作出最短路径的选择.
1.如图,直线m同侧有A、B两点,A、A′关于直线m对称,A、B关于直 线n对称,直线m与A′B和n分别交于P、Q,下面的说法正确的是( A )
A.P是m上到A、B距离之和最短的 点,Q是m上到A、B距离相等的点
二 造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造 在何处可使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直 线,桥要与河垂直)?
A A
M
B N
B
如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是 AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
●A
M
M
N
N
B.15
C.20
D.30
3.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC 和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从 A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离是 1000 米.
C
D
河
A
B
4.如图,边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,
A
C
D
C′
D′
E E′ B
解:作AF⊥CD,且AF=河宽,作BG ⊥CE,且BG=河宽,连接GF,
与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由:由作图法可知,AF//DD′,AF=DD′,则四边形AFD′D为平行
四边形,于是AD=FD′,
A
同理,BE=GE′,
C
D
F
由两点之间线段最短可知,GF最小.
AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA 1+A1N1+BN1.
在△A1N1B中,因为A1N1+BN1>A1B.
因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN.
证明:由平移的性质,得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD,
BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
C′
D′
E
E′
BG
拓展提升
6.(1)如图①,在AB直线一侧C、D两点,在AB上找一点P,使C、D、P三
点组成的三角形的周长最短,找出此点并说明理由.
(2)如图②,在∠AOB内部有一点P,是否在OA、OB上分别存在点E、F,
使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短,找出E、F两点,并说明理由.
(3)如图③,在∠AOB内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点E、
哪条最短?为什么?
P
PC最短,因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段大小的基本事实? 三角形三边关系:两边之和大于第三边; 斜边大于直角边.
4.如图,如何做点A关于直线l的对称点? A
l A′
一 牧人饮马问题 “两点的所有连线中,线段最短”“连接直线外一点与直线上各
点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题,本节将利用数学知识
探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
①
②
A
③
B
P
A BC
Dl
如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地,牧
马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.(难点) 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化 思想.(重点)
复习引入
1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短?为什么?
②最短,因为两点之间,线段最短
①
②
A
③B
2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连接的所有线段中,
造桥选 址问题
解题方法
关键是将固定线段“桥” 平移
Hale Waihona Puke AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处,连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中,∵AC+CE>AE,
A· M C
∴AC+CE+MN>AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN, 所以桥的位置建在MN处,A到B的路径最短.
F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短,找出E、F两点,并
说明理由. D
C
A 图①
B
A
P
O 图②
B
O
A
M
图③
N B
D C
AP C' 图①
P' A
E
P
O
F
B
图② P''
B
M' A
E
M
N
O
B F
N'
图③
原 理 线段公理和垂线段最短
最短路 牧马人饮 径问题 马 问 题
解题方法 轴对称知识+线段公理
MA
Ql
P
B
M Q
l
P
M
l
C
M
l
D
典例精析
例1 如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,
AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF的最小值为( B )
A.7.5
B.5
C.4
D.不能确定
解析:△ABC为等边三角形,点D是BC边的中点,即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上,故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的 最小值,故连接CE即可,线段CE的长即为BF+EF的最小值.
C
在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,