圆的切点弦方程
222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。

22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。

【方法】1.设出直线，再求解；
2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222r
y x =+究竟是什么关系呢下面我们进行探究： 一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。

二、当点M 在圆O 外时，
1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为2
22y x r d +=
,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2
020
∴
r d <，故直线L 与圆O 相交.
2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。

2
2
0r x =
2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)
从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线，
故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证），
如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:2
11r y y x x =+，直线MB:2
22r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2
01022
0101r
y y x x r y y x x ,
由此可见A 、B 的坐标均满足方程2
00r y y x x =+，
由于两点确定一条直线
∴直线AB 的方程为2
00r y y x x =+。

所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。

三、当点M 在圆O 内时，
1.直线L 也不是圆O 的切线。

下面给出证明： ∵圆心O 到L 的距离为2
22y x r d +=
，由),(00y x M 在圆O 内,得r y x <+2
020
∴
r d > 故直线L 与圆O 相离.
2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢 首先研究L 的特征： 由上述探讨过程易知， 直线L ⊥OM ，
此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，AB ⊥OM ）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。

事实上（另证）， ∵直线L 的斜率00y x k l -=，而直线OM 的斜率0
0x y
k om =， ∴OM L ⊥
一方面，过点M 与OM 垂直的直线0L 方程为,0)()(0000=-+-y y y x x x 即2
02
000y x y y x x +=+
另一方面，将直线OM 与L 的方程联立⎪⎩
⎪
⎨⎧==+x
x y y r y y x x 00
200， 得到它们的交点P 的坐标为),
(
2
2
0202
2
020y x r y y x r x ++，
由（二）可知过点P 的圆的切点弦所在直线的方程为
22
2
0202
2
020r y y x r y x y x r x =⋅++
⋅+，
即2
02000y x y y x x +=+，即为直线0L 的方程。

由此我们看到L ∥0L ，直线L 是由点M 确定的。

另外，直线L 是过点M 的弦（除O ，M 的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹， 证明如下：
设(,),P x y ''由（二）可知动弦AB 的方程为2
x x y y r ''+=，
又因为点M 在AB 上，则200x x y y r ''+=，以x ，y 分别代,x y ''，则2
00r y y x x =+。