( n) Ak (b a)Ck
a
b
( n) f ( x)dx (b a) C k f ( x0 kh ) k 0
n
(5.9)
称为牛顿-柯特斯公式。其中Ck(n) 叫Cotes系数，Cotes系 数与被积函数及积分区间无关。
计算柯特斯系数
n=1时，有两个Cotes系数
(1) C0

x2 k 2
x2 k
h f ( x)dx [ f ( x2 k ) 4 f ( x2 k 1 ) f ( x2 k 2 )] 6
2.复合Simpson公式 再求和得：
h h I [ f (a ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] [ f ( x2 ) 4 f ( x3 ) f ( x4 )] 6 6 h [ f ( x2 N 2 ) 4 f ( x2 N 1 ) f (b)] 6 N N 1 h [ f (a ) 4 f ( x2 k 1 ) 2 f ( x2 k ) f (b)] 6 k 1 k 1
Ak a l k ( x)dx a (
j 0 j k
b
b
n
x xj xk x j
)dx
(5.5) (5.6)
Ak f ( xk ) a f ( x)dx k 0
b
n
公式(5.6)称为等距节点内插求积公式。
求Ak
Ak a l k ( x)dx a (
n n h(1) n k n n (1) n k Ak (t j )dt (b a) (t j )dt 0 0 k!(n k )! j 0 n k!(n k )! j 0 j k j k
记 则
(n) Ck
n n (1) n k (t j )dt 0 n k!(n k )! j 0 j k
n
例1 试分别用梯形公式和辛普森公式计算积分

1
0.5
xdx
解:利用梯形公式

1
0.5
1 0.5 xdx ( 0.5 1) 2 0.4267767
利用抛物线公式
0.5
1
1 0 .5 xdx ( 0.5 4 0.75 1) 6 0.43093 4
原积分的准确值

Newton-Cotes公式
若Ln (x)为Lagrange插值多项式，则由公式
Ln ( x )
于是
b
k 0
f ( xk )l k ( x)
b n b
n
I a f ( x)dx a Ln ( x)dx ( a l k ( x)dx) f ( x k )
k 0
令 则有
(Newton―Cotes) 公式
§5.2
复合求积公式
5.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式 建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又 有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有
b b

h ba n
a
f ( x)dx ( x)dx
( 2) C0
(1) 2 2 1 ( t 1 )( t 2 ) dt 2 0!2! 0 6
C1( 2)
( 2) C2
(1) 0 2 1 t ( t 1 ) dt 2 2!0! 0 6
1 (3) C0 , 8 3 C1(3) , 8
(1)1 2 4 t ( t 2 ) dt 2 1!1! 0 6
a
现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有
b a
f ( x)dx Pn ( x)dx
a
b
将积分区间[a,b] n等分，则节点是等距分布的，节点 x0 ,x1 ,x2 ,…, xn可表示成xk=x0+kh (k=0,1,…,n)，其中 x0=a, xn=b, 称为步长。
j 0 j k
b
b
n
x xj xk x j
)dx
a 在等距节点前提下，做变换 t x ，由 a x b ，可得 0 t n h 而x-xj=(t-j)h (j=0,1,2,…,n) ，xk-xj=(k-j)h (j,k=0,1,2,…,n且j≠k)。 于是(5.5)式即为
公式。将积分区间[a,b]N等分后的节点记为xk，
xk=a+kh(k=0,1,2,…,N )，在每个子区间[xk ,xk+1] (k=0,1,2,…，N-1)上应用梯形公式，

xk 1
xk
1 1 f ( x)dx h[ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2 2
1.复合梯形公式
再求和得：
1.复合梯形公式
h TN [ f (a) 2 f ( xk ) f (b)] 2 k 1
ba 其中xk=a+kh (k=0,1,2,…,N)， h N
N 1
2.复合Simpson公式 如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复
合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次， h 于是共有2N+1个节点， xk a k (k=0,1,2,…,2N)， 2 在每个N等分的子区间[x2k , x2k+2] (k=0,1,2,…,N-1)上应 用Simpson公式，
易知 , 牛顿 ― 柯特斯求积公式对任何不高于 n 次的
多项式是准确成立的。这是因为 f(n+1)(ξ)≡0 故 Rn(f)≡0
代数精度
一般说来 ,若某个求积公式对于次数不高于 m 的多项
式都准确成立 ( 即 Rn(f)≡0), 而对于某一次数为 m+1 的多项 式并不准确成立(即Rn(f) ≠0),则称这一求积公式的代数精 度为m。 牛顿 ― 柯特斯求积公式的代数精度至少为n，若n为


a
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
b
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
(5―5)
第5章 数值积分
I
§5.1
牛顿 ― 柯特斯
a f(x )dx
近似值
b
§ 5.4
龙贝格(Romberg) 积分方法
I * 4 a r c t g x | 10 3 . 1 4 1 5 9 2 6
1 1 1 1 3 1 f (0) 2 f 2 f 2 f 2 f 8 2 8 4 8 2
偶数，则至少具有n+1次代数精度。通常在基点个数相等
的情况下,代数精度愈高,求积公式愈精确。 梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有1、3、
5次代数精度。
例5.1 分别利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计 算 , 0 x
1 n
dx
n=1,2,3,4,5，并与用牛顿-莱布尼兹公式计
被积函数f(x)没有 具体的解析表达式
函数关系由表格 或图形表示,无法 求出原函数。
sin x 1 , x ln x
被积函数的原函 数不是初等函数
a e
b
x2
dx
从几何上看定积分
定积分是曲边梯形的面积
左矩形
图 5.1 (5―2)
右矩形
(5―3)
图 5.2 梯形面积
图5.3 抛物求积 (5―4)
xk f (xk) 0 4 1/8 3.93846 1/4 3.76470 3/8 3.50685 1/2 3.20000 5/8 2.87640 3/4 2.46000 7/8 2.26549 1 2
计算积分
I
*

1
0
4 dx 2 1 x
这个问题有明显的答案 取n = 8用复合梯形公式
T8
第5章 数值积分
复习
求定积分
I
a f(x )dx
(5―1)
b
若函数f(x)在区间［a, b］上连续且其原函数为F(x) , 则可用牛顿―莱布尼兹公式，来求定积分。
a f ( x)dx F (b) F (a)
b
第5章 数值积分
被积函数f(x)的原 函数F(x)不易找到
定积分计算可能 遭遇的三种情况
2.复合Simpson公式
N N 1 h S N [ f (a) 4 f ( x 2 k 1 ) 2 f ( x 2 k ) f (b)] 6 k 1 k 1
h ba h 其中 xk a k (k=0,1,2,…,2N)， 2 N
3.复合Cotes公式
N N h C N [7 f (a ) 32 f ( x 4 k 3 ) 12 f ( x 4 k 2 ) 90 k 1 k 1
32 f ( x 4 k 1 ) 14 f ( x 4 k ) 7 f (b)]
k 1 k 1
N
N 1
h b a h 其中 xk a k (k=0,1,2,…,4N)， 4 N
其中 c,d,e为[a,b]的四等分点，称为Cotes公式。
表 5―1 柯特斯系数
柯特斯系数的特点
柯特斯系数C(n)i仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关,
且满足

i 0
n
Ci( n ) 1
(5―15)
柯特斯公式对f(x)=1是准确成立的。
a
b
( n) f ( x)dx (b a) C k f ( x0 kh ) k 0
4、复合Simpson公式算法 (1) 输入a,b,N (2) h
ba , s f ( a ), x a 2N