240
n6 6
,
n = 1, 2, 3L
n 为偶 n 为奇
能量平均值
E
a
Hˆ
dx
0
a c2 x(a
0
x)(
h2 2μ
)
d2 dx 2
x(a
x)dx
h2 30 a
5h2
x(a x)dx
μ a5 0
μa 2
能量平方的平均值
E 2
a
Hˆ
2
dx
0
a c2 x(a
0
x)(
h2 )2 2μ
a
2
讨论：显然 M 0, N 0,且N M > 0
令：
N M =n N nM
= n ,
a
En
2h2 2a2
n2 ,
n 1, 2,L
( x) = Asin( 1 n x + 1 n + M )
a
2
Asin n x + a
a2
（2.4）题
先归一化
1 a dx a A2 x2 ( x a)2 dx
(
z
)
=
0
2 3
2 μE3 h2
方程的解：
1( x) = A1sin(1 x) + B1cos(1 x) 2( y) = A2sin(2 y) + B2cos(2 y) 3(z) = A3sin(2z) + B3cos(3z)
( x, y, z) =1( x) 2( y) 3(z) = [ A1sin(1 x) + B1cos(1 x)] [ A2sin(2 y) + B2cos(2 y)] [ A3sin(2z) + B3cos(3z)]
边条件： Asin( a + ) = 0 , x a
2
2
Asin( a + ) = 0 , x a
2
2
a + = M (1) a + = N (2)
2
2
2 = (M + N = 1 ( N + M
2
a = ( N M = 1 ( N M
a
解为：
( x) = Asin[1 (N M x + 1 (N + M ]
dx
ih 1 d u2 ( x)dx (ih)ik 2 dx
2 dx
ih
1 2
u2
(
x)
(ih)ik
2 dx]
0 (ih)ik hk
（3-20）题
已知 Kˆn nn, [LˆMˆ Mˆ Lˆ] = 1 定义 n = Lˆn, n = Mˆ n
Kˆn = LˆMˆ Lˆ n = Lˆ(Mˆ Lˆ 1) n = Lˆ(Kˆ 1) n = Lˆ(n 1) n = (n 1)Lˆ n = (n 1)n
(1)
2
2
2
Asin( a ) + Bcos( a ) = 0 , x a (2)
2
2
2
改写：
sin(
a )
2
sin(
a 2
)
cos( cos(
a 2 a 2
) )
A B
0
系数A,B不全为0： 所以：
sin( a ) cos( a )
2
2 0
sin( a ) cos( a )
2
2
e2
d dx
0(
x)
2
=
(2 2 x)e2x2 = 0 x = 0
0 (0) 2 =
h
作业：已知一维谐振子第一激发态
1(x) =
1 2 x2
2 xe 2 =
2
2 3
1 2 x2
xe 2
计算概率密度最大的位置， 及最大的概率密度取值。
（3-6）题
基态 0(x) =
12x2
e2
动量分布函数
dz2
)
E2
得到：
h2 2μ
1 2(
y)
d
2 2(
dy2
y)
E2
和：
h2 2μ
1 3(z
)
d
2 3(z)
dz2
E
E1
E2
令： 得到：
2 2
2 μE2 h2
E3 E E1 E2
2 3
2 μE3 h2
d
2 2
dy
(
2
y
)
+
22
2
(
y
)
=
0
2 2
2 μE2 h2
和：
d
2 3 (
dz 2
z
)
+
32
3
习题（2.1）：求三维无限深势阱中粒 子的能量本征值和本征函数
0, V (x, y,z) =
0 < x < a,0 < y < b,0 < z < c, 其它
如a=b=c，讨论能及的简并度。
解：
[
h2
2
V
r (r
)]
r (r
)
=
E
r (r
)
2μ
在势阱外
(rr) = 0
在势阱内
V (r) = 0
2a 2 a
4a 2a
n 为偶时
cn
1 2 2a
[ 4a
(n+
2)
cos
4a
(n +
2) x
aa
+
4a (n
2)
cos
4a
(n
2)
x
aa
]
=
0
n
为
cn
1 a
1 a cos xcos n xdx
2a a 2a
4a
奇 时
1
a
n
cos( x + x)dx
2 2a a
4a 2a
1 a cos( n x x)dx
2 2a a
4a 2a
2
4a
2a
[
n
1 +
2
sin
4a
(n
+
2)
x
aa
+
n
1
2
sin
4a
(n
2)
x
aa
]
计算出
cn
16
2
n
n
(n2 4) cos 4
能量的可能测值 n 为奇数
E
I n
=
n2 2h2 8 (2a )2
=
n2 2h2 32 a 2
对基态 n=1 取值概率
c1
8
3
c1
2
(
8
3
)2
p2
2 2h2
动量分布函数
( p)
2 h
e e dx
1
2
2
(
x
+
i
2
h
)2
1
2 2
h2
p2
1 p2
e 2 2h2
2
1
1 p2
e 2 2h2
2 h
h
1
1 p2
e 2h ,
h
h
动能平 均值
T 1 p2 1
1
1 p2
p2e h dx
2
2 h
动量平 均值
1 1
3
(h ) 2
归一化系数：
2
2
2
波函数：
A1 = a , A2 = b , A3 = c
n1n2n3 ( x, y, z) =
= 2 2 sin( n1 x)sin( n2 y)sin( n2 z)
abc a
b
c
能级：
En1n2n3
=
E1
+
E2
+
E3
h2
2
(12
2 2
2 3
)
h2 2 2
(
n12 a2
n22 b2
计算出
c0 2
2 12 1 + 2
2(
k
)
1 4
(
2k
1
)4
k + 2k
5
(2) 4 1+ 2
（3-10）题
p
(ih d ) dx
dx
(ih)
u( x)eikx d [u( x)eikx ]dx
dx
(ih)[
u( x)eikxeikx d [u( x)]dx
dx
u( x)u( x)eikx d eikxdx]
h2 2μ
2 ( x 2
2 y2
2 z2
( x,
y, z)
=
E
( x,
y, z)
分离变量 ( x, y, z) = 1( x) 2 ( y) 3(z)
代入方程：
h2 2μ
[
2
(
y)
3
(
z
)
d
2 1(
dx2
x)
1
(
x
)
3
(
z
)
d
2 2
dy
(
2
y
)
1(
x)
2
(
y)
d
2 3(z)
dz2
=
E1(x) Nhomakorabea2
同理
Kˆn = LˆMˆ Mˆ n = (1 Mˆ Lˆ )Mˆ n = (Mˆ Mˆ Kˆ ) n = (1 n )Mˆ n = (n 1)n