J dJ R dm R
2 m
2

m
dm mR
2
(2)设圆盘单位面积上的质量为σ
m 2 R
Z
在圆盘上取半径为r，宽为 dr 的圆环，该圆环质量：
dm ds 2rdr
圆盘转动惯量为
dr
R
o
r
J r 2 dm

R
0
1 2 r 2rdr mR 2
一、转动惯量与角速度都不变; 一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩(对该 转轴而言)为零时,它将保持原有的角速度不变。该定理反 映了任何转动物体都有转动惯性。 ——刚体转动的第一定律: 二、两者都变但二者的乘积不变。
花样滑冰
跳 水 中 的 角 动 量 守 恒 现 象
对于刚体组：
四
定轴转动的动能定理
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
刚体的定轴转动
刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的 时间内转过的角度相同,根据这一特点,常取垂直于转轴 的平面为参考系,这个平面称转动平面。虽然刚体上各 质元的线速度、 加速度一般是不同的，但由于各质元 的相对位置保持不变,所以描述各质元运动的角量,如角 位移、 角速度 和角加速度都是一样的。因此描述刚体 的运动时,用角量最为方便。
垂直于Z轴
ω FiZ Fi
Φi表示 Fi⊥与 r i的夹角
M iZ ri Fi sin i
3. 整个刚体受合外力矩沿Z轴的分量：
oi ri
p
Fi⊥ φi
ｒiZ
O
M Z M iZ ri Fi sin i
ｒio
Z 第 i 个质点对O点角动量
Li rio mi vi rio ri riZ
i
f ji
ri
O
rij
j
rj
0
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为 零，因此内力矩之总和为零

i 1
n
d n ri Fi外 ( ri mi vi ) dt i 1
作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系 角动量对时间的变化率，这就是质点系对固定点 的角动量定理。
质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆 周运动，则这时
d M iz [( mi ri 2 ) ] dt
令转动惯量
J mi ri
2
——刚体转动时惯性大小的量度
dLz d M iz dt J dt
d M iz J dt J
式中Lz＝Jω，即为质点系对z轴的角动量的表示 式。也适用于刚体系统。
n n 1 d n ri Fi外 ri f ji dt (ri mi vi ) i 1 i j 1 i 1 n
一对内力的力矩之和：
M ' rj f ji ri f ji rj f ji ri f ji (rj ri ) f ji rij f ji
t0

角动量
t
t0
Mdt
叫冲量矩
1. L r P L mvr sin
L 的方向符合右手法则.
z L mv

r
2.质点在垂直于 z 轴平面 上以角速度 作半径为 r 的圆运动，相对圆心
z
o r
90

L r p r mv
Mdt ( J )
t0
t
若 M iz 0
则J J 00
外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的 角动量守恒.
注意: 1.角动量守恒有两种情况: 一是转动惯量与角速度都不变; 二是两者都变但二者的乘积不变。
2.角动量守恒定律与动量守恒定律、 能量守恒定律一样都 是自然界的规律。
Z
mro vo mr v
L
vo
ro
ro v vo r
F
2-6 刚体的定轴转动 一 刚体定轴转动的描述 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化 的物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体的运动形式：平动、转动.
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线. 刚体平动 质点运动
2.匀速圆周运动的质点受到向心力的作用，所 以其角动量一定守恒。
L
mv
F
r
L
O
r
mv
F
O’
用绳系一质量为m小球使之在光滑的桌面上作圆周运动，球的
速率vo ，半径为ro 。问：当缓慢拉下绳的另一端，圆的半径变为
r 时，小球的速率v是多少？
解：因为通过转轴的合力矩为零，所以小球的角动量 守恒
合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量 .
1 2 1 2 类比质点力学中动能定理： F dr mv mv0 a 2 2
b
转动惯量的计算
对于单个质点 质点系
J mr
2
J mi ri 2
J r dm r dV
2 m m 2
若物体质量连续分布
转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）
例2.18 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直； (2)转轴通过棒一端并与棒垂直.
平行于Z轴 垂直于Z轴
ω
oi ri
vi
ｒiZ
Δmi Ｐ
Li ri mi vi riZ mi vi
ｒio
O
2、质点系对轴的角动量定理
质点系对z轴的角动量定理为
d d M iz dt (ri mi vi sin i ) dt ( ri mi vi )
在直角坐标系中，表示式为
M y zFx xFz
M z xFy yFx
1. r 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所 受的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点， 不同。物体所受的力矩不同。 对应的位矢 r
2.何时M 为零？ a. F 0 b.力的作用线与轴相交 c.受到有心力作用
转轴
转轴 Z

ri vi
O
转动平面
Δmi
Ｐ
二
质点系的角动量定理
1、质点系对固定点的角动量定理 设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为
n 1 Fi外 f ji ＋
j 1
则i质点对固定点o的角动量定理为
n 1 d ri ( Fi外 f ji ) (ri mi vi ) dt j 1
dA ( M i )d Md
力矩的功
A Md
1
2
类比质点力学中外力的功： A

b
a
F dr
3、刚体定轴转动的动能定理
d d d d M J J J J dt d dt d

2
1
Md
2
1
1 2 1 2 J d J J0 2 2
注意： 内力不改变系统的总角动量！
问题:
当我们用力 F 推门时，该 力可以分解为垂直于门轴方向的 力和平行于门轴方向的力，平行 于门轴方向的力对门的转动是否 起作用？ F//
F⊥ F
垂直于Z轴 M i rio Fi Fi Fi FiZ rio Fi rio FiZ rio ri riZ Z rio Fi ri Fi riZ Fi M iZ ri Fi
质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点 对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。 注意：
何时M 为零？ a. F 0 b.力的作用线与轴相交 c.受到有心力作用
讨论：
以下各系统哪些量守恒？
F
机械能守恒，动量不守恒 机械能守恒，动量也守恒
F
机械能不守恒，动量守恒
动量不守恒，角动量守恒
L rmv sin
2
大小
A
mv
L rmv mr （圆运动）
3. 质量为m的汽车,以速率v沿直线运动,求它对O点的角 动量为多少?对 P点的角动量为多少?
P d
m v d o
LP 0
LO mvd
求角动量时必须先指明参考点!
三 质点角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L r mv 常数
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l

dm dx
2 2
dJ x dm x dx
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dj
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
例2.19 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘 分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环 和圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任取一质元 ，其质量为dm，距离为R， 则该质元对转轴的转动惯量 为 2
dJ R dm
所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴 的转动惯量为
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？