第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3．若()x y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()x y 为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则()()x y x y +为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4．若y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()()x y C x y C 2211+为对应的二阶齐次线性方程的通解（1C ，2C 为独立的任意常数）则()()()x y C x y C x y y 2211++=是此二阶非齐次线性方程的通解。
5．设()x y 1与()x y 2分别是()()()x f y x q y x p y 1=+'+''与 ()()()x f y x q y x p y 2=+'+''的特解，则()()x y x y 21+是 ()()()()x f x f y x q y x p y 21+=+'+''的特解。
五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 其中p ，q 为常数， 特征方程02=++q p λλ特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根1λ，2λ则方程的通解为x xe C eC y 2121λλ+=（2）特征方程有二重根21λλ= 则方程的通解为()xex C C y 121λ+=（3）特征方程有共轭复根βαi ±， 则方程的通解为()x C x C e y x sin cos 21ββα+=2．n 阶常系数齐次线性方程()()()012211=+'++++---y p y p y p y p y n n n n n 其中()n i p i ,,2,1 =为常数。
相应的特征方程0 12211=+++++---n n n n n p p p p λλλλ特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有n 个不同的实根n λλλ,,, 21 则方程通解x n x x n e C e C e C y λλλ+++= 2121（2）若0λ为特征方程的k 重实根()n k ≤则方程通解中含有y=()xk k e xC x C C 0121λ-+++（3）若βαi ±为特征方程的k 重共轭复根()n k ≤2，则方程通解中含有()()[]x x D x D D x x C x C C e k k k k x sin cos 121121ββα--+++++++由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
六、二阶常系数非齐次线性方程方程：()x f qy y p y =+'+'' 其中q p ,为常数 通解：()()x y C x y C y y 2211++=其中()()x y C x y C 2211+为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。
所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y 如何求？1．()()xn e x P x f α=其中()x P n 为n 次多项式，α为实常数，（1）若α不是特征根，则令()xn e x R y α= （2）若α是特征方程单根，则令()xn e x xR y α= （3）若α是特征方程的重根，则令()xn e x R x y α2=2．()()x e x P x f x n sin βα= 或 ()()x e x P x f xn cos βα=其中()x P n 为n 次多项式，βα,皆为实常数（1）若βαi ±不是特征根，则令()()[]x x T x x R e y n n xsin cos ββα+= （2）若βαi ±是特征根，则令()()[]x x T x x R xe y n n xsin cos ββα+=例题：一、齐次方程1.求dxdyxy dx dy xy =+22的通解 解：10)(22222-⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=-==-+x y x y x xy y dx dy dxdy xy x y 令1,2-=+=u u dx du x u u x y 则 0)1(=-+du u x udx⎰⎰=+-11C x dx du u u ，1||ln C u xu =-，x yu u C ce y ce e xu =∴==+,1 2. 011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+dy y x e dx e y x yx 解：yxyxey x e dy dx +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11，令yu x u y x ==,.(将y 看成自变量) dy duy u dy dx +=, 所以 u u e u e dy du y u +-=+1)1( uuu u u e e u u e e ue dy du y ++-=-+-=11 y dy du e u e u u -=++1, y dy e u e u d u u -=++)(, y y c e u u 1ln ln ln =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ c e u y u +=1, y x u e yxc e u c y +=+=, c ye x y x=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+. 二、一阶线形微分方程1..1)0(,0)(==-+y dy x y ydx解：可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0)1(1x y xdy dx . 这是以y 为自变量的一阶线性方程解得 )ln (y c y x -=.0)1(=x , 0=c . 所以得解 y y x ln -=.2.求微分方程4y x y dx dy +=的通解 解：变形得：341y x ydy dx y y x dy dx =-+=即，是一阶线性方程3)(,1)(y y Q yy P =-= Cy y C dy e y ex dy ydy y+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰-⎰⎰413131三、伯努力方程63'y x y xy =+解：356'x y y xy =+--， 256x xy y dx dy =+--，令,5u y=- ''56u y y =--, 25x xu u =+'-，255'x u x u -=-.解得 )25(25-+=x c x u ， 于是 35525x cx y +=-四、可降阶的高价微分方程1.求)1ln()1(+='+''+x y y x 的通解解：令p y p y '=''='则,,原方程化为)1ln()1(+=+'+x p p x1)1ln(11++=++'x x p x p 属于一阶线性方程 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰+⎰+-⎰111111)1ln(C dx e x x ep dx x dx x[]11)1ln()1ln(1111++-+=+++=⎰x C x C dx x x ⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=2111)1ln(C dx x C x y 212)1ln()(C x x C x +-++=2.1)0(',2)0()'(''22===+y y y y y ， 解：令dy dp py p y =='''，则，得到 y p dydpp=+22 令u p =2, 得到y u dydu=+为关于y 的一阶线性方程. 1)]0('[)0(0|22====y p x u，解得 y ce y u -+-=1所以 2)0(121)0(0|1--+-=+-===ce ce y x uy , 0=c .于是 1-=y u , 1-±=y pdx y dy±=-1, 112c x y +±=-, 2211c x y +±=- 2)0(=y , 得到121=c , 得解 121+±=-x y 五、二阶常系数齐次线形微分方程 1.0'''2'''2)4()5(=+++++y y y y y y解：特征方程 01222345=+++++λλλλλ 0)1)(1(22=++λλ，i i -==-=5,43,21,,1λλλ于是得解 x x c c x x c c e c y xcos )(sin )(54321++++=-2.06'10''5)4(=-+-y y y y，14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====y y y y解：特征方程 0610524=-+-λλλ, 0)22)(3)(1(2=+-+-λλλλ11=λ, 32-=λ, i ±=14,3λ得通解为 )sin cos (43321x c x c e ec e c y x xx +++=- 由 14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====y y y y 得到 211-=c , 212=c , 13=c , 14=c 得特解 )sin (cos 21213x x e e e y x xx +++-=-六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1.求xe y y y 232=-'+''的通解解：先求齐次方程的通解，特征方程为0322=-+λλ，特征根为1,321=-=λλ。