4
Ex ( A sin k x x B cos k x x)(C sin k y y D cos k y y )ei ( kz z t ) i ( k z z t ) E ( A sin k x B cos k x )( C sin k y D cos k y ) e y x x y y i ( k z z t ) E ( A sin k x B cos k x )( C sin k y D cos k y ) e x x y y z
d 2Y 2 k yY 0 2 dy
X ( x) A sin k x x B cos k x x Y ( y ) C sin k y y D cos k y y
u ( x , y ) X ( x )Y ( y )
这里的 A、 B、C、 D、kx、ky都是待定常数。至此得到沿 z 轴方向传播的电磁波电场的三个分量为：
E
k
H
TE
k
z kz
TE波和 TM波是相对于叠加波的传播方向而言的
10
c) 截止频率
2 2
kx
m a
n m n 2 2 2 2 2 ky kz k k x k y kz k b a b 其中波数 k取决于波源的频率ω和波导内介质的性质，即
k
2 若电磁场的激发频率ω足够小，以致于 k 2 k x2 k y ，则 kz是
纯虚数， k z i ，显然由因子 e 能在该波导内传播。
i ( k z z t )
e z e i t 看到，这不再
是行波，而是场随着z的增加而指数衰减，所以此时电磁场不
2 2 2 2 ( 2 2 )u ( x , y ) ( k k z )u ( x , y ) 0 x y
采用分离变量法，令 u ( x , y ) X ( x )Y ( y ) 则有：
1 2 X ( x) 1 2Y ( y) 2 2 2 2 k k k k z x y 2 2 X ( x) x Y ( y) y
不能同时为零
y
Ey
b
k x A1 k y A 2 ik z A 3 0
z
a
x
其余两个常数 Ai 由激发源功率确定 。
对于每一组本征值 k x , k y ，即对于每一组 m, n ，仅有两种独立
波模
6
3、讨论
a）波导内电磁场的特点
E x A1 cos k x x sin k y ye i ( kz z t ) i ( k z t ) E y A2 sin k x x cos k y ye z i ( kz z t ) E A sin k x sin k ye 3 x y z
形下，波导中的电磁波为TEmn和 TMmn的叠加
9
H 0
电场 E和磁场 H沿传播方向的分量 Ez 和 Hz不能同时为零，这与电磁波的横 波性相矛盾吗？ No
E 0
实际上，横波性是电磁波固有的性质。这种现象出现在波导中 之所以不好理解，是因为波导的轴线方向并不是波的真正传播 方向，波导中的电磁波是在管壁上多次反射中而曲折的前进， 由于这种多次反射波的叠加，在垂直于波导轴线方向成为驻波， 而使叠加波沿轴线方向前进。
2 2 ky 当 k 2 kx ，即 k z 0 时，称为临界状态，由 k z 式子得到
临界频率 c.mn 称为截止频率
11
c.mn

m n a b
2
2
波速v
1

只有频率 c.mn 的电磁波才能在波导中传播，故把
c.mn
E E y E x E z E z ex y z z x
E y E x e y x y e z
E ( x , t ) E ( x , y )e i ( k z z t ) H ( x , t ) H ( x , y )e
§ 4.5 波 导
一、电磁信号的传输
1）双线传输：适用于频率为50Hz的低频电磁信号的传输
2 ）同轴传输线：频率较高时 (~3GHz) 采 用。同轴线由圆形的金属网套和绝缘介 质包裹着位于轴心的导线构成 3）波导：频率高达 300GHz时采用。波导：用于引导电磁波， 使之沿人们所希望的路线传播的结构，一般为一根空心（或填 以绝缘介质）的金属管，其截面通常为矩形或圆形。
在波导中由场的纵向分量Ez和 Hz可求得场的横向分量
由于波导中的 Ez和 Hz不能同时为零，因此波导中不存在 TEM
波，或者说电场和磁场不能同时为横波
Ez=0的波模，称为横电波（TE） Hz=0的波模，称为横磁波（TM）
y
b
z
a
x
TE波和 TM波又按 m、 n值的不同分为 TEmn和 TMmn波，一般情
电磁波沿波导长度方向以行波传播
1
二．矩形波导中的电磁波
1．矩形波导
四个壁构成的金属管，四个面为
y
x 0，a y 0，b
让电磁波沿z轴传播
b
k
z
O
a
x
2．解的形式
E ( x , y , z , t ) E ( x , y )e i(kz z t )
其中 E ( x, y, z ) E ( x, y )e
要使上式成立，必须要求左边每一项等于常数，即
2 e ik z z 2 ik z z k z e 2 z
3
1 2 X ( x) 2 k x 2 要求： X ( x) x 1 2Y ( y ) 2 k y Y ( y ) y 2
d2X 2 k xX 0 2 dx
y
y
b
b
z
a
m kx a
a
x
z
n ky b
x
行波方程
u cos(t kx)
驻波方程
k x A1 k y A 2 ik z A 3 0
对于每一组m、n，在y和x都确定的z方向E x Ae i ( k z z t ) 行波 在y和 z都确定的x 向直线上
i ( k z c t )
Ex A1 cos kx x sin k y yei ( kz z t )
sin k x a 0
n y b, E x 0 k y b
m kx a
Et 0
m , n 0 ,1, 2 ,...
E 0
E x E y E z 0 x y z
称为截止频率。
c.mn 相应地，截止波长为：
1 ; a
2 v 2 m n a b
2 2
TE10波型 :
c.10
TE 01波型 :
c.01
1 ; b
其中，对于TE10 波（又称为主波），通常对于矩形波导总是取 a>b， 于是 c,10 给出矩形波导中的最小截止频率。凡是频率比截止频率 小的电磁波不能在波导内传输。 c,10 对应的波长为
z
E ( x, y, z ) E ( x, y )eikz z
2 2 2 2 ( 2 2 ) E ( x, y ) ( k k z ) E ( x, y ) 0 x y
z
ik z eikz z
ik z z
令 u ( x , y ) 代表电场强度任意一个直角坐标分量，有
B i H t
D H i E t
ik z z
H z ik z H y i E x y H z ik z H x i E y x H y H x i E z x y
8
联立上述方程可得
H z E z Ex kz 2 2 y x i k kz 1 H z E z Ey kz 2 2 x y i k kz 1 H z E z Hx kz 2 2 x y i k kz 1 H z E z Hy kz 2 2 y x i k kz 1
u cos(kx) cos(t )
m kx , 取 m =1 驻波 Ex B cos k x xe a a 结论：波导内电磁场在z方向是行波，在x、y 方向是驻波。 a、b 的尺寸必须满足驻波的条件:
2
m kx x a
am
x
2
7
b）电磁场横向分量用纵向分量表示 波导中沿z轴方向传播的电磁场为
Ex ( A sin k x x B cos k x x)(C sin k y y D cos k y y )ei ( kz z t ) i ( k z z t ) E ( A sin k x B cos k x )( C sin k y D cos k y ) e y x x y y i ( k z z t ) E ( A sin k x B cos k x )( C sin k y D cos k y ) e x x y y z
c,10 2a
(m 1, n 0)
12
这就是波导中能够传播的最大波长。
4、 TE10波的电磁场和管壁电流
1). 管壁内表面电流
n ky b
kx
m a
当m＝1，n＝0时，kx=/a ，ky=0。对TE波有Ez=0，因而A3＝0。
x0
b
Ex
z
x0
a
x
Ak x C sin k y y e i ( kz z t ) 0