0
电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 均匀场中，E E0ez , E0 R cos
导体的边界面上
|s 常数
n s Q dS
S
n
（2）边值关系：介质分界面上
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
bd Q 4 0
（ 4）
联立（2）、（3）和（4）得
Q Q1 Q1 Q1 b , c , d 4 0 4 0 R1 4 0
1 QR3 其中 Q1 1 1 R2 R11 R3
（ 5）
所以
Q Q1 Q1 1 1 1 , 2 4 0 R 4 0 R R1
R 0, 2 有限，可以得到
a1 E0 , an 0 n 1 , dn 0
由边值关系： 1 R R 2 R R 0 0 介质球面上
1 2 0 R R R0 R
R R0
可以解出： b 0 E R 3 , b 0 n 1 1 0 0 n 2 0
导体球上的感应电荷为
2 0 dS Q1 R R1 R
例2. 电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，求电 势. E0 解：讨论区域：球外 （I）和球内（II）. R0 选择球坐标系，原点 在球心，z轴沿E0方向。 考虑电荷分布在无限 区域，选择坐标原点 为电势零点。
II I
但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式
1. 一般情况
bnm ( R, , ) (anm R n 1 ) Pnm (cos ) cos m R nm d nm n (cnm R n 1 ) Pnm (cos ) sin m R nm
体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布产生的势为已知。 处理方法：区域 V 中电势可表示为两部分的和 ， 即 0 ， 为已知自由电荷产生的电势， 0 2 ， 不满足 0 为束缚电荷产生的电势，满 2 足拉普拉斯方程 0
所以电势为
3 0 c1 E0 , cn 0 n 1 2 0
0 3 1 1 E0 RP E0 R0 2 P 1 cos 1 cos 2 0 R 3 0 2 E0 RP 1 cos 2 0
根据边界条件和边值关系
b ① R 1 0, a 0, 1 R d ② R R1 , 2 0, c 0 R1
③
（ 1）
（ 2）
（ 3）
1 R R
3
b d 2 R R , c 2 R3 R2
1 2 0 dS 0 dS Q R R3 R2 R R
P0 1
P1 (cos ) cos
3. 具有球对称性
b ( R) a R
三．解题步骤
1. 确定求解区域、选择坐标系和电势零点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状，电
势零点主要根据电荷分布是有限还是无限；
2. 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程的通解； 3. 根据边界条件和边值关系确定通解中的常数 （1）边界条件： 电荷分布有限
n
Pnm (cos ) ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
2. 电势具有轴对称性，通解为
bn ( R, ) (a n R n 1 ) Pn (cos ) R n
n
Pn (cos ) -----勒让德函数
1 P2 (cos ) (3 cos 2 1) 2
第二章第三节
分离变量法
Separation of Variables
§2. 3
拉普拉斯方程的解
—— 分离变量法
一、分离变量法的适用条件 二、拉普拉斯方程的解在球标系中的形式 三、解题步骤
四、例题 五、拉普拉斯方程的解在其它标系中的形式
一、分离变量法的适用条件 1、空间 0 ，自由电荷只分布斯方程，且电 势具有轴对称性，所以电势的通解为：
bn n 1 an R n 1 Pn cos R n dn n 2 cn R n1 Pn cos R n
考虑到 R , 1 E0 Rcos E0 RP 1 cos ,
所以球内的电场为
3 0 2 1 2 ˆ ˆr E2 2 e e E0 R R 2 0
3 0 2 1 2 ˆ ˆr E2 2 e e E0 R R 2 0 3 0 1 ，球内的场比球外场弱，这是由于 由于 2 0 这是由于介质球束缚电荷产生的电场与原电场的方 向相反，使得球内的总场比原来的电场弱。
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
四、例题
1 ．一个内径和外径分别
为 R2 和 R3 的导体球壳，
带电荷为Q，同心地包围
着一个半径为 R1 的导体 球（R1 < R2），使这个 导体球接地 ，求空间各 点的电势和这个导体球
R1
R3
R2
的感应电荷。
解：讨论区域：球外 （I）和球内（II）.
选择球坐标系，原点 在球心。考虑电荷分 布在有限区域，选择 无穷远为电势零点。 球壳外 2 0 1 球壳内 I II
R1
R3
R2
2 0
2
电荷在球上均匀分布，
场有球对称性，所以
b 1 a R c d 2 R
( R R3 ) ( R1 R R2 )
b 1 a R c d 2 R
( R R3 ) ( R1 R R2 )