高等数学II 练习题 第二章 极限与连续
________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
习题2.1 数列极限
一．选择题
1．下列数列}{n x 中收敛的是 （ B ）
（A ）n n x n n 1)1(+-= （B ）1n 1(1)n x n +=- （C ）(1)2n n x -= （D ）1(1)10
n n n x =-+ 2．下列数列}{n x 中收敛的是 （ C ）
（A ）11n n n x n =-+() (B) 11,11,n n n x n n
⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 （C ）1,1,1n n n x n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数 (D) 12,212,2n n
n n n
n x n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数 3．数列11111
1
0,,,,,,,234567---的极限为
（ A ）
（A ）0 （B ）不存在 （C ）1 （D ）难以确定
4．若数列{}n x 有极限a ，则在a 的(0)εε>邻域之外，数列中的点 （ D ）
（A ）有无穷多个 （B ）可以有有限个，也可以有无穷多个
（C ）必不存在 （D ）至多有有限个
二．填空题 1．数列1111
0,,0,,0,,0,,2
468
L 的通项n a =______________及lim n n a →∞= 。

2．若数列2,1-1,2n n n n a n n n
⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，则该数列的极限是 。

3．若lim 2n n a →∞=，则21lim 2n n a +→∞= ；若lim n n a A →∞=，则lim ||n n a →∞= 。

4．2
2324lim 261n n n n n →∞+-=-+ 。

三．将给定数列与其相应的特性用线连接起来． (1) 111111:1,1,1,1,1,1,1,223344
n x -+-+-+L （a ）有界 1(1)2n
n +-0不存在1||A 32
(2) 32n n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（b ）单调 (3) :0.99,0.999,0.9999,
n x （c ）收敛 (4) sin
2n n x π= （d ）发散 四．证明题
1．设11(21)(21)
n n k a k k ==-+∑，证明：1lim 2n n a →∞=。

2．求极限)2
1......41211(lim n n ++++∞→。

3．求极限222111lim(1)(1)(1)23
n n →∞---。

4．举例说明：如果数列{||}n x 有极限，但数列{}n x 未必有极限。

11111111[(1)()()(1)23352121221111lim lim (12212n n n n a n n n a n →∞→∞=-+-++-=--++∴=-=+解：{|(1)|}1{(1)}n n --例如：数列是收敛于的，但是是个发散的数列。

另外，选择题中多个选项中的数列都具有这种性质。

111()1112lim(1......lim 2124212n n n n +→∞→∞-++++==-解：22211113243511lim(1)(1)lim()()()()23223344111lim 22
n n n n n n n n n n →∞→∞→∞-+---=⋅⋅⋅⋅+=⋅=解：。