f f f dZ X dX 1 X dX 2 X dX n KdX 1 0 2 0 n 0
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播率及权
令
dZ1 dX1 dZ2 dX 2 dZ , dX , dZ dX t n f1 X 1 f 2 K X 1 f t X 1 f1 X 2 f 2 X 2 f t X 2 f1 X n f 2 X n f t X n
则其方差——协方差矩阵定义为：
第三章 协方差传播率及权
DLL E L E ( L) L E ( L)
nn

T

式中： T E(L) E(l1 ) E(l2 ) E(ln ) 为观测向量的期望； l2 D(li ) E(li E(li ))2 为第i组观测值的方差；
作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的 精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多 组观测值所构成的观测向量。比如，在GPS测量中， 基线观测值 L (x y z)T 就是观测向量。 衡量观测向量之精度的指标是方差—协方差矩阵。 一般地，设n维观测向量为
n1
L (l1 l 2 l n ) T
D XX


观测向量线性函数为
T D XX 2 2n n
12 1n 2 2 2n
Z KX k0
式中： K k1 k2 kn , k 0 为常数。
第三章 协方差传播率及权
Z的期望为
E(Z ) E( KX k0 ) KE ( X ) k0
0 1
0 2
0 n



f f 0 0 X n X n 二次以上项 X 2 X 2 X X 2 0 n 0




当X与X0非常接近时，可以略去二次以上小项（影响非常小） 微分以后的系数均为具体数值，将常数提取出来，即得：
Z k1 X1 k2 X 2 kn X n k0
第三章 协方差传播率及权
如果令：
dXi X i X i0
i 1,2,, n
T
dX dX1 dX2 dXn
0 0 dZ Z Z 0 Z f X10 , X 2 ,, X n


也可写为：
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项， 得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。 设观测向量的t个非线性函数为：
Z1 f1 X 1 , X 2 , , X n Z t f t X 1 , X 2 , , X n Z 2 f 2 X 1 , X 2 , , X n
E( X 1 X 2 X n ) E( X 1 ) E( X 2 ) E( X n )
当随机变量 X 1 , X 2 ,, X n 两两独立时，有
E( X 1 X 2 X n ) E( X 1 ) E( X 2 )E( X n )
X、Y相互独立时：
E( X , Y ) E( X ) E(Y )
Z的方差为
DZZ E[(Z E ( Z ))(Z E ( Z ))T ] E[(KX k0 KE ( X ) k0 )(KX k0 KE ( X ) k0 )T ] KE[( X E ( X ))(X E ( EX ))T ]K T KDXX K T
同理：
T DZY KD XX F T DYZ t r
教材：例 3－4，3－5，P30上角例题
习题：3.2.14
第三章 协方差传播率及权
5、观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
设观测向量 X 的非线性函数为：
n1
Z f X1 , X 2 , , X n
已知X的协方差矩阵DXX，求函数Z的方差DZZ
i
i j
l2l1 lnl1
2 l1
l l l2 l l
12
2

n 2
l1ln l 2l n 2 ln
T
l2l E (li E (li ))(l j E (l j )) 为第i组观测值关于第j组观
第三章 协方差传播率及权
于是，观测向量的多个线性函数可写为 Z KX K 0 故有 DZZ KD XX K T
T 式中：DZZ DZZ为对称方阵。 若还有观测向量的另外r个线性函数 Y1 f11 X 1 f12 X 2 f1n X n f10 Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2 n X n f 20 Yr f r1 X 1 f r 2 X 2 f rn X n f r 0 其矩阵形式为： Y FX F0
则令
Z1 k11 Z2 k 21 Z , K t 1 t n Z k t t1 k12 k1n k10 k 22 k 2 n k 20 0 , K1 t k k t 2 k tn t0
第三章 协方差传播率及权
则有：
而
r t
T DYY FDXX F T DYY r r
DYZ E[(Y E (Y ))(Z E ( Z ))T ] E[(FX F0 FE( X ) F0 )(KX k 0 KE ( X ) k 0 ) T ] FE[( X E ( X ))(X E ( EX ))T ]K T FDXX K T
1 Qii pi
2 i 2 0
2 1 j Q jj 2 pj 0
ij Qij 2 0
1 PXX QX第三章 协方差传播率及权
设观测向量的t个非线性函数为：
Z1 f1 X 1 , X 2 , , X n Z t f t X 1 , X 2 , , X n
Z 2 f 2 X 1 , X 2 , , X n
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
f f f dZ1 1 dX1 1 dX 2 1 X X X 1 2 n f f 2 f dX1 2 dX 2 2 dZ2 X X X 1 2 n f f f dZt t dX1 t dX 2 t X X X 1 2 n dX n dX n dX n
第三章 协方差传播率及权
§3-4 权与定权的常用方法
权的概念
表达观测值方差之间比例关系的数字特征 观测值所占的比重，精度越高，比重越大，即与方差大小成反比。
02 pi 2 i
权的定义
权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。
单位权中误差的概念
权为1的观测值所对应的中误差，称为单位权中误差。
第三章 协方差传播率及权
3、观测向量线性函数的方差
设观测向量X及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X 1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
12 12 T E ( X E ( X ))(X E ( X )) 1n
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
f f1 f dX1 1 dX 2 1 dZ1 X X X 1 2 n f 2 f 2 f 2 dZ2 X dX1 X dX 2 X 1 2 n f f t f dX1 t dX 2 t dZt X X X 1 2 n dX n dX n dX n
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
§3-2 协方差传播率
§3-3 协方差传播律的应用 §3-4 权与定权的常用方法 §3-5 协因数和协因数传律 §3-6 由真误差计算中误差及其实际应用
§3-7 系统误差的传播
第三章 协方差传播率及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
则由误差传播定律得：
DZZ KD XX K T
由以上推导知，求非线性函数的方差——协方差矩阵 比求线性函数的方差——协方差矩阵只多一个求全微 分的步骤。 教材：例 3－6、3－7 ， P33上角例题
习题：3.2.07(2)，3.2.11(2)，3.2.13
第三章 协方差传播率及权
§3-3 协方差传播率的应用
测值的协方差，协方差用来描述第i个观测值与第j个观 测值之间的相关程度。
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评定观 测向量函数的精度。
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE( X ) , E( X Y ) E( X ) E(Y )
定权的常用方法
1、水准测量的权 2、同精度观测值之算术平均值的权
教材：例 3－8，3－9 习题：3.4.35， 3.4.40， 3.4.41， 3.4.43， 3.4.44
第三章 协方差传播率及权