数列和不等式的综合复习I♦知识回顾1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列. —(2) 符号语言：a n +1 — a n = d(n € N). 2. 等差数列的通项公式若等差数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d,则其通项公式为 a n = a i + (n — 1)d . 推广：a n = a m + (n — m)d.3. 等差中项a + b如果三个数a, A, b 成等差数列，贝U A 叫a 和b 的等差中项，且有 A= =+^ . 4. 等差数列的前n 项和公式5. 等差数列的性质(1) 等差数列｛a n ｝中，对任意的 m n, p, q € N,若m+ n = p+ q,贝Ua m + a n = a + a q .特殊的，若 m+n= 2p ，贝U a m + a n = 2a p .(2) 等差数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和仍成等差数列，即 S m , Sm — S m , S 3m — S 2m ,…仍成等差数列.S 禺 a n +1 S (禺6. 当项数为2n(n € N+),则S 偶一 S 奇=nd , = ------ ;当项数为2n — 1(n € N+),则S 奇一 S 偶=an,'=S t a n S 奇n — 1 n♦ 基础练习：1. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 1= 2, S= 12，贝U a 6= _____________________________ .2. 在等差数列｛a n ｝中，(1) 已知 a 4 + a 14= 2,贝U S 17=___________ ;(2) 已知 Sn = 55,贝U a 6 = _____________________ ;(3) 已知 S= 100, Si 6= 392，贝U S 24= ___________ .3、 已知｛a n ｝是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a ?a 3= a 4a 5, S= 1,则3的值是 ________________4、 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2= 7, S 7=— 7,则a ?的值为 _____________ .♦ 判断或证明一个数列是否是等差数列已知数列｛a n ｝的各项均为正数，前 n 项和为S ，且满足2S = a 2+ n — 4. (1) 求证：｛a n ｝为等差数列； (2) 求｛a n ｝的通项公式.♦等差数列的性质1、 已知｛a n ｝是等差数列，｛S n ｝是其前n 项和.若a 1+ a 2=— 3, S 5= 10,则a g 的值是 _____________2、 在等差数列｛a n ｝中，若 a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a ?= 25,贝U a 2+ a 8= ____________ ;3、 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S ，且So= 10, So= 30,则So= _______________ .♦等差数列中的最值问题)(1)若等差数列｛a n ｝满足a ?+ a 8 + a g >0, a ? + ae<0，当n 取何值时，｛a n ｝的前n 项和最大？数列部分(一)、等差数列(1) Sn= na 1 + n ( n —1)d . (2) Sn (a + a n )⑵已知数列｛a n｝为等差数列.若田<—1，且｛a n｝的前n项和S n有最大值，求使 S>0时n的最大值. a6(二)、等比数列♦知识回顾1. 等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数 列叫做等比数列. — —a “+1 *⑵ 符号语言： 一=q(n € N, q 是等比数列的公比). a n 2. 等比数列的通项公式设｛a n ｝是首项为a i ，公比为q 的等比数列，则第 n 项a n = a i q n _1 推广：a n = amf m. 3. 等比中项若a, G, b 成等比数列，则 G 为a 和b 的等比中项且 G=± ab. 4.等比数列的前n 项和公式 ’(1)当 q= 1 时，S= na 1., , a 1 (1 — q n) ⑵当q z 1时，S== = 1 — q 5. 等比数列的性质(1) 等比数列｛a n ｝中，对任意的 m, n, p, q € N*，若m+ n = p + q,贝Ua m a n =a p a .特殊的，若 m+ n= 2p,贝y a m a n = a p .(2) 等比数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和(非零)仍成等比数列，即 S m , S 2m — Sn, S m — $m,…仍成等比数列，其公比为 q m(q — 1).(其中S m z 0)♦基础练习:1. 设S 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1= 1, a §= 32，则0= ____________ .2. 若一1, x, y, z ，— 3成等比数列，则y 的值为 ___________ .3. 等比数列｛a n ｝中，a 1>0, 8284+ 2a 3a 5+ a 4a 6= 36,贝U a 3+ a 5= ___________ .4. 在各项均为正数的等比数列 __________________________ ｛a n ｝中，若a 2= 1, a 8= a 6+ 2a 4，贝U a 6的值是5. _____________________________________________________________________ 设等比数列｛a n ｝满足a 1+ a 3 = 10, a 2+ a 4= 5，贝U aa 2a 3…a n 的最大值为 _____________________________________ .♦等比数列的判定与证明已知数列｛a n ｝的前n 项和为 S, 3S n = a n — 1(n € N *).(1) 求 a 1, a 2；(2) 求证：数列｛a n ｝是等比数列； (3)求 a n 和 S.♦等比数列的性质已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且满足 af 9 = 4,则数列｛log 2a n ｝的前9项之和为 __________♦等比数列的应用设数列｛a n ｝的前n 项和为S,已知a 1= 1, S+1 = 4a n + 2. (1) 设b n = a n + 1— 2a n ,求证：数列｛b n ｝是等比数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.a 1 — a n q1 — q♦知识回顾1. 已知数列｛a n ｝，满足a n +i — a n = f(n)，且f ⑴ + f(2) +…+ f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 a n ・ a n +1 ..2. 已知数列｛a n ｝，满足 =f(n)，且f(1) f (2)…f (n)可求，则可用累乘法求数列的通项a n .a n 3. 数列求和的常见方法(1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再 求和； (3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (4) 倒序相加：如等差数列前 n 项和公式的推导方法. 4.常见的拆项公式♦基础练习:1. ____________________________________________________ 在数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55 中，x= ________________________________________________________… 1 1 12. 求和：1X 2 + 2x 3+ …+ ( n — 1) n =------------ ' 3. 等比数列1 , 2, 4, 8,…中从第5项到第10项的和为♦分组转化法求和1 1 1 求数列1+1, a +4,孑+7尹10,♦错位相减法求和设等差数列｛a n ｝的公差为d,前n 项和为S,等比数列｛b n ｝的公比为q.已知b = a 1, b 2= 2, q= d, S 10 =100.(1) 求数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；a n(2) 当d>1时，记C n =「，求数列｛c n ｝的前n 项和T n .b n♦裂项相消法求和在数列｛a n ｝中，a = 1,当n 》2时，其前n 项和S 满足&= an?—* (1) 求S 的表达式；S n(2) 设b n = 2n+1 求｛b n ｝的前n 项和T n .(三)、数列求和(1) 1n (n + 1) 1 1 n — n+7； (2) 1 (2n — 1)_( 2n + 1) 1( 1 — 1 、 2 2n — 1 2n + 1 ；_______ 11(n+1) (n +2)4. 已知数列｛a n ｝的通项公式a n =5. 数列｛a n ｝中，a n = (2n — 1)3n —1则该数列的前 项之和等于9.，则数列｛a n ｝的前n 项和S= 1e + (3n — 2)的前n 项和.(四)、数列的综合应用a 21. 若等差数列｛a n ｝和等比数列蚀满足十“ 一 1,十b 4= 8,则百2. )记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和.若a 4+ a 5= 24, 48,则｛a n ｝的公差为 _________ .3. 北京市决定从2016年到2020年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年45递增10%则2016年底更新的车辆数约为现有总车辆数的 _______________ .(参考数据：1.1〜1.46 , 1.1〜1.61)4. (设数列｛a n ｝满足 a 1+ 3a 2 + …+ (2n — 1)a n = 2n. (1) 求｛a n ｝的通项公式；(2) 求数列%： [ f 的前n 项和.5. (2017 苏锡常镇一模)已知n 为正整数，数列｛a n ｝满足a n >0, 4(n + 1)a 2— na 2+1 = 0,设数列｛b n ｝满 2a n^足 b n = j~n.a n 、求证：数列*不『等比数列；若数列｛b n ｝是等差数列，求实数t 的值；若数列｛b n ｝是等差数列，前 n 项和为S,对任意的n € N ,均存在m € N *,使得8a 2S n — a 1n 2= 16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1的值.6、已知数列｛a n ｝是首项为1,公差为d 的等差数列，数列｛b n ｝是首项为1,公比为q(q > 1)的等比数列. (1)若a 5= b 5, q= 3,求数列｛a n • b n ｝的前n 项和；⑵ 若存在正整数k(k >2)，使得a k = b k ,试比较a n 与b n 的大小，并说明理由.不等式部分(一)一元二次不等式♦一元二次不等式及其解法1. 不等式3x 2— x — 4 < 0的解集是 ________ . 2. 不等式2x 2— x — 1>0的解集是 ______ .3. ____________________________________ 不等式—x 2— 2x+ 3>0的解集为2.. r x — 2x + 2 —冃 t ..2、 若—4 v x v 1,求的最大值.2x — 2(1) ⑵ ⑶♦含参的一元二次不等式的解法1 解关于x的不等式：ax2 + (a — 2)x — 2>0.♦2 一元二次不等式的恒成立问题1、设函数 f(x) = mx— mx- 1.(1) 若对于一切实数 x, f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2) 若对于x € [1 , 3] , f(x)< — m+ 5恒成立，求 m的取值范围.♦3三个二次之间的关系已知函数f(x) = x2+ ax + b(a , b € R)的值域为[0 , + ^),若关于x的不等式f(x)<c 的解集为｛x|m<x<m + 6｝，则实数c的值为___________ ;♦课后作业1. 函数y=羞的定义域为 ________________ .22. 已知集合 U= {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7} , W {x|x — 6x+ 5< 0, x € Z}，则？鳩___________ .—x2— 2x, x>0, “3. 已知函数f(x) =* 2若f(3 — a2) v f(2a)，则实数a的取值范围是________x —2x , x v 0,(二)基本不等式♦基础练习1. 若实数a, b满足a + b= 2，贝U 3a+ 3b的最小值是_________ .12. 若 f(x) = x + -—2(x v 0)，贝U f(x)的最大值为 ___ .x2 1 m3. 已知a>0, b>0,若不等式- +丄恒成立，则 m的最大值为 a b 2a + b♦通过配凑法利用基本不等式求最值5 11、已知XU，贝U f(x) = 4x— 2+ —的最大值为；44x — 5 --------♦通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值8 21、已知x>0, y>0且x+ y = 1,^卜+ -的最小值为x y2、 已知 x>0 , y>0, x+ 3y + xy = 9,贝U x + 3y 的最小值为 _______♦基本不等式与函数的综合应用♦课后作业1、 3 1o< x v ,则x+y^3的最小值是 ___________ •4 12.已知正数x, y 满足x + y= 1,则x^2 + R 的最小值为 _______________ •y 43. __________________________________________________ 若正实数x, y 满足x + y= 1,则j + y 的最小值是 __________________________________________________ . a 22 14. 已知a, b 均为正数，且 ab — a — 2b = 0,则-+ b 2—；-的最小值为4 a b--------1 25. ______________________________________________________ 已知x>0, y>0,且+ y = 1,贝U x + y 的最小值是 ___________________________________________________ ;3函数y = 1 — 2x — -(x < 0)的最小值为 _____ .x 19 —6. 已知正数a, b 满足-+厂=3面一5，贝U ab 的最小值为a b * 1 |ai7. 已知a + b = 2, b>0,当亍厂+丫一取最小值时，实数a 的值是2|a| b--------Q Q QQa QK8. 已知a, b, c 为正实数，且 a + 2b< 8c, - + r<-，则 --------- 的取值范围是a b c cac c c\[5，亠9. 已知 a>0, b>0, c>2，且 a+ b = 2,则的最小值为b ab 2c — 2(三)不等式的综合应用4 1.函数y = x + _(x 丰0)的值域是 ________ .—，若不等式f(x) + f(2x) < k 对于任意的(已知函数f(x)2 —x + ax + 11 x + 1(a € R),若对于任意 x € N , f(x) > 3恒成立，则a 的取值范围是x € R 恒成立，贝U 实数k 的取值范围?2 8 3. 已知x>0, y>0且满足- + -= 1，则x+ y 的最小值是.x y4. 若正数a, b 满足ab= a+ b+ 3，贝U ab 的取值范围是 __________2. 设 x € R,f(x)。