1.3 随机过程的数字特征

随机过程的集合平均 (Ensemble average)
随机过程就是由多个（无穷多个）随机变量按照一定的排列规则组成的； 完整描述随机过程的最完美方法是确定其联合概率密度函数； 如果随机过程的概率密度函数已确定，可根据其直接计算数字特征； 如果能够得到大量的样本，则数字特征也可根据样本的集合平均进行计算。
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）
结构设计
现在设计中如何考虑不确定性？
荷
载
结
构 响 为什么需要学习随机振动
应
结构自重 活荷载 地 风 震
构件尺寸 材料特性
静力响应 地震响应 风致振动
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）


教材与参考书
从数学观点 ：是随机过程理论在振动领域的应用，它是概率统计
方法与结构动力学相结合的产物。
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1.2 随机过程的定义和分类
由于随机过程可由一系列随机变量描述，对于任意{t1 , t2 ,
, tn } T ，
X (t1 ), X (t2 ),
, X (tn ) 的联合概率分布函数 ; xn , tn ) P{X1 x1 X n xn }
PX ( x1 , t1;
随机过程 X (, t ) 可以看成为
1.2 随机过程的定义和分类
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随机过程的定义
设已经给定概率空间 (, P, f ) 及一参数集 T ( R1 ) ，若对每
一 t ( T ) , 均有定义在 (, P, f ) 上的一个随机变量 X (, t ), ( )与之 对应，则称依赖于参数t 的随机变量族 X ( , t ) 为一随机过程。
X (, t )
1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）

工程中典型的随机振动问题

高层建筑和桥梁在风荷载作用下的振动 建筑结构和桥梁在地震作用下的振动


海洋平台结构在风浪作用下的振动
汽车在运行中由于路面不平引起的振动 飞机和航天器飞行中由气流引起的振动
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m
如何判断其为随机过程？
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1.2 随机过程的定义和分类

随机过程的分类
根据随机变量X和t的连续性，可将随机过程分为四种不同类型
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（土木工程专业）
第一章：随机过程
郭安薪
博士、教授
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确定性
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随机性
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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）

随机过程的数字特征

自相关函数

随机过程中 X (t1 ) X (t2 ) 的数学期望 E [ x(t1 ) x(t2 )] 称为随机过 程的自相关函数，是描述随机过程相关性的重要参数。

自相关函数可以通过样本的集合平均进行计算,或采用
RXX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] x1 x2 f X (t1 ) X (t2 ) ( x1 , x2 )dx

随机过程的集合平均

如果获得随机过程的大量样本，在任一给定的时刻，该随机变量的均
值可确定为

概率密度函数
x1 (ti ) x 2 (ti ) x (ti ) N
x n (ti )
为什么叫做“距”？ “距”有什么特点？
f [ x(ti )] lim

Prob[ x x(ti ) x x] 其他课程里还有什么叫做“距”的？ x 0 x
《结构随机振动》，欧进萍等，高教出版社 《工程结构随机振动》，方同等，国防出版社 《随机振动概论》，上海交大出版社 《现代随机振动》，湖南大学出版社 《非线性随机振动理论及其应用》庄表中，浙大出版 《An Introduction to Random vibration, Spectral & Wavelet

土木工程中有那些随机振源
大气湍流 、强风、地震、海浪、路面不平度等振源具有随机
性。不能用确定性时间函数描述，只能用概率统计方法描述。

什么是随机振动
在随机振源作用下系统所产生的振动。是用概率统计方法研究
振动问题的技术学科。

随机振动的学科特点
从力学观点 ：是古典振动理论的发展，结构动力学的新分支。


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1.1 为什么要研究和学习随机过程（续）

结构随机振动的原因

激励是随机的：最基本的随机振动问题
系统是随机的：随机系统 激励和系统都是随机的。

工程中的随机振动问题

振动分析（响应预测） 已知激励和系统求响应，是最基本的随机振动问题。

振动环境预测 已知系统和响应，求激励。如预测路面不平度等。
2 2 2 x (t ) E{[ x(ti )] } mx (t )
i i
N=2时，为方差

自相关函数

对于一个随机过程，除了描述在任意时刻的统计特性外，各个不同 时刻的随机变量之间的相互关联程度，也是描述一个随机过程的重 要方面。

随机过程的各个不同时刻，组成高阶的联合概率密度函数，但是研 究两个不同时刻的相互关联程度更为实际。
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1.1 为什么要研究和学习随机过程

确定性量、随机变量和随机过程的差别
确定性量：物理量的值是确定不变，且不随时间变化。 随机变量：物理量与时间无关（静态），但其值可变，且 土木工程学院 防灾减灾与桥梁工程学科组
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1.3 随机过程的数字特征

系统识别 已知激励和响应，求系统。如系统动态特性识别等。
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Analysis》, D.E.Newland, Dover Publications, New York

《Random Vibrations Theory and Practice》, P.H. Wirsching, T.L. Paez, K. Ortiz, Dover Publications,New York
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1.3 随机过程的数字特征

随机过程的数字特征

其他课程里还有与“中心距”类似？ “中心距”有什么特点？
N阶中心距
n
E{[ x(ti ) mx (ti ) ] } [ x(ti ) mx (ti ) ]n f [ x(ti )]dx(ti )
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1.2 随机过程的定义和分类