ED F CB A三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA4、以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD∆和等腰Rt ACE∆，90,BAD CAE∠=∠=︒连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC∆为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．5、如图，ABC∆中，AB=2AC，AD平分BAC∠，且AD=BD，求证：CD⊥AC.CDBACBACBA6、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

7、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP8、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A9、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC10、11、 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.12、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．CBAEMMEABCDCB13、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD14、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.15、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

ED G F C BAOP AM NE B CDF AE FB D 图①图②图③FED CB A BC16、 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.17、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。

（2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。

18、 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN ∆的周长。

_ A19、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =o∠，60MBN =o∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．20、已知2,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.（图1） AB CD E F MN（图2）A B CDE FMN（图3）AB C D E F MN21、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC V 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．22、如图2-7-1，△ABC 和△DCE 均是等边三角形，B 、C 、E 三点共线，AE 交CD 于G ，BD 交AC 于F 。

求证：① AE=BD;② CF=CG.23、如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE。

求证：MD=MN。

24、如图2-7-3，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。

求证：AB+BD=AC25、如图2-7-4，△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。

求证：PC-PB＜AC-AB。

26、如图2-7-5，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。

求证：∠CDF=∠ADE。

27、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

28、已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60º角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与B 、C 重合），斜边和∠ACM 的平分线CF 交于点F （1）如图（1）当点E 在BC 边中点位置时1) 猜想AE 与EF 满足的数量关系是 。

2) 连结点E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜想（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时：此时ＡＥ和ＥＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由？E图（1）NFMCBAE图（2）FA29、已知AC 平分∠MAN ，∠MAN=120º，（1）在图（1）中，若∠ABC=∠ADC=90º，求证：AB+AD=AC 。

（2）在图（2）中，若∠MAN=120º，∠ABC+∠ADC=180º，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？30、如图1，在ABC △中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、 （1）延长MP 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =； （2）若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B P 、在直线a 的同侧，其它条件不变.此时PM PN =还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PM PN =还成立吗？不必说明理由.图（1）CD B N MA 图（2）C DB N M A 题图1 题图2 题图331、如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE GC ，． （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.32、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h 。