采用直角坐标法
W Fx dx Fy dy Fz dz
z
M1 M
M2
r
zF
o
y
x y
3
z
M1 M
M2
r
zF
o
y
x
x
y
力沿曲线 M1M2 的总 功：
W12
M 2 M
F
dr
M2
M
F cos ds
1
1
M2 M1
(F xdx F y dy F z dz)
4
3. 合力的功
W
FR
d
r
Fi
d r
12
18
例题：图示椭圆规尺 AB 的质量 为 2m1 ,曲柄 OC 的质量为 m1 , 而滑块 A 和 B 的质量均为 m2 。 已知 OC = AC = CB = l , 曲柄和尺 的质心分别在其中点上 , 曲柄绕O 轴 转动的角速度 为常量 . 求图示 瞬时系统的动能。
A
C
O t
B
19
解: 系统由四个物体组成
F1与dr12不正交时 W 0
10
二、质点和质点系的动能
1.质点的动能 T 1 m v2
2
2.质点系的动能
n个质点组成的质点系,质心为C,速度为vc .把平动
坐标系的原点固接在质心上,则有:
vi = vc+vri
其中vi为第i个质点的速度,vri为其相对于平动坐标 系的速度.
T
1 2
mi
vi2
C
v
A
22
解: T = TA + TAB
TA
1 2
内容提要
第十二章 动能定理
1.力的功 2.质点和质点系的动能 3.势能
1
一.力的功
作用在质点上的力在一段路程中的功，是沿此路程的积累 效应的度量，其大小等于力和作用点位移的标积。
1. 常力的功
F
S
W F S FS cos
2
2. 变力的功
变w力的 元F功：dr
采用自然法
x
W Ft ds Fds cos
vA
T = TOC +TAB +TA +TB
椭圆规尺 AB 作平面运动 . 瞬心为 I。 IC = OC = l
vC l l AB AB
A
I
AB vC
C
O t
B
vB
v A 2l cos t v B 2 l sin t
TA
1 2
m2vA2
1 2
m2l 22
cos2 t
TB
12m2vB2
Z
F
r
Ft
d
M
9
(5)内力的功
F1
W = F1·dr1 + F2·dr2
r12
= F1· (dr1-dr2) = F1· d(r1-r2 )
r1
r2
O
F2
= F1· dr12
讨论:1)对于刚体F1· dr120 ; W =0
内力不作功.
2)对于一般质点系, dr120
F1与dr12正交时 W=0
11
质点系的动能为:
T
1 2
m
i
vi2
1 2
mi
vc vri
vc vri
1 2
mi
vc2
vr2i
2vc
vri
1 2
M
vc2
1 2
mi v r2i
vc
mi vri
1 2
M
vc2
T
(柯尼希定理)
其中 mi vri = Mvrc = 0
T
1 2
mi
vr2i
12
质点系的动能为:
A
O
17
解: OA定轴转动，轮 A 平面运动, I 为瞬心。
vA= (R+r) = r A T = TOA +TA
O
A I
TOA
1 2
1 3
M
R
r 2
1 6
M
R
r 2
TA
1 2
mv
2 A
1 2
1 2
m
r
2
1 mR r 2
2
1 mR r
4
3 4
mR
r 2
T 1 2 M 9 m R r 2
弹性力的功只与弹簧在初始位置和末了位置的变形量δ有关，与
力的作用点的轨迹形状无关。
8
(3) 力对轴之矩的功
W Ft ds Ft rd
W M z (F )d
W12
2
M z (F )d
1
W12 M z ( F ) ( 2 1 )
(4)力偶的功
W = m dφ
W12 = m (φ2 - φ1 )
O
A
B
C
D
TOA
TDB
1 1 23
Ml 2
1 6
Ml 2
TAB
1 2
Ml 2
T 2 1 Ml 2 1 Ml 2 5 Ml 2
6
2
6
16
例题 : 周转轮系机构置于水平 面内,曲柄 OA 质量为M 且以角 速度 动 , R 为定齿轮 O 的半 径 ; 动齿轮A 的半径为 r 质量 为 m 。求系统的动能。
T
1M 2
v
2 c
1 2
m
i
v
2 ri
1 2
M
vc2
T
质点系的动能等于随质心平动的动能 和相对质心运动的动能之和。
13
3.刚体的动能
(1)平动刚体的动能
T
1 2
M
vc2
(2)定轴转动刚体的动能
T
1 2
J o
其中JO为刚体对定轴O的转动惯量
(3)平面运动刚体的动能
T
1M 2
v
2 c
1 2
J c2
1 2
JI
其中JI为平面运动刚体对瞬心I的转动惯量
14
例题: 三连杆结构如图所示, OA =DB = AB = l 。 质量均为 M 。 若 OA 绕 O 轴以匀角速度 转动 ，求系统的动能。
O
A
B
C
D
15
解: OA 和 DB 定轴转动, AB 平动
vC = vA = l T = TOA +TDB+TAB
Fi dr Wi
W12
M 2 M
FR
dr
M 2 M
Fi
dr
Wi12
1
1
合力在任一段路程中的所作的功等于各分力在同一段路程中 所作的功的代数和。
5
4. 几种常见力的功 （1）重力的功
x
z
M1 M
M2
z mg
o
y
x y
2
W = (-mg) dz = mg(z1-z2) =mgh
1
6
z
2
4 3
m1 l2 2
T
(3 2
m1
2m2
)l 2 2
21
例题：均质细杆长为 l , 质量为 m , 上端 B 靠在光滑的墙上 ,下端 A 用铰与质量为 M 半径为 R 且放在粗糙地面上的圆柱中心相连 , 在图示位置圆柱中心速度为 v , 杆与水平线的夹角 = 45o , 求该瞬时系统的动能.
B
M1 M
M2
z
y
W = (-mg) dz = mg(z1-z2) =mgh
1
重力所作的功与质点运动时所沿的路径无关，只决定于运动始末
两位置的高度差。
7
(2)弹力的功
取自然位置为坐标原点 k 是弹簧刚度系数。
x F A
x o
W
2 1
(kx)dx
1 2
k(x22
x12 )
=
2k(12 _ 22)
1 2
m2l
22
sin2t
20
TA
1 2
m2
v
2 A
2m2l 22
cos2 t
TB
1 2
m2vB2
2m2l 22
sin2 t
TOC
1 2
(1 3
m1l
2
)2
1 6
m1l
22
vA
A
I
AB vC
C
O t
B
vB
TAB
1 2
mvC2
1 2
J C 2AB
1 2
(2m1
)l
22
1 2
1 12
(2m1)
(2l
)2