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【数学】数学 锐角三角函数的专项 培优 易错 难题练习题及答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A 与哨所B 同时发现一走私船,其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上,位于哨所B 南偏东37°的方向上.(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离;(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时,恰好在D 处成功拦截.(结果保留根号)(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37 =sin53°≈去,tan37°≈2,tan76°≈)【答案】(1)观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里;(2)当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠ACB =90°,再解Rt △ABC ,利用正弦函数定义得出AC 即可;(2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ,易知,D 、C 、M 在一条直线上.解Rt △AMC ,求出CM 、AM .解Rt △AMD 中,求出DM 、AD ,得出CD .设缉私艇的速度为x 海里/小时,根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程,解方程即可. 【详解】(1)在ABC △中,180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中,sin AC B AB =,所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=(海里). 答:观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.(2)过点C 作CM AB ⊥,垂足为M ,由题意易知,D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中,4sin 15125CM AC CAM =⋅∠=⨯=,3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=.在Rt ADM △中,tan MDDAM AM∠=,所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=,.设缉私艇的速度为v海里/小时,则有2491716v=,解得617v=.经检验,617v=是原方程的解.答:当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时,恰好在D处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.2.(2013年四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=22.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.(1)点A的坐标为,直线l的解析式为;(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.【答案】解:(1)(﹣4,0);y=x+4.(2)在点P、Q运动的过程中:①当0<t≤1时,如图1,过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t.∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,S=12PM•PE=12×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t.②当1<t≤2时,如图2,过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t.S=12PM•PE=12×2t×(16﹣7t)=﹣7t2+16t.③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=167.当2<t<167时,如图3,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,S=12PM•MQ=12×4×(16﹣7t)=﹣14t+32.综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(3)①当0<t≤1时,22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=75,∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大.∴当t=1时,S有最大值,最大值为9.②当1<t≤2时,22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣7<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=87,∴当t=87时,S有最大值,最大值为647.③当2<t<167时,S=﹣14t+32∵k=﹣14<0,∴S随t的增大而减小.又∵当t=2时,S=4;当t=167时,S=0,∴0<S<4.综上所述,当t=87时,S有最大值,最大值为647.(4)t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.【解析】(1)利用梯形性质确定点D的坐标,由sin∠DAB=2,利用特殊三角函数值,得到△AOD为等腰直角三角形,从而得到点A的坐标;由点A、点D的坐标,利用待定系数法求出直线l的解析式:∵C(7,4),AB∥CD,∴D(0,4).∵sin∠DAB=2,∴∠DAB=45°.∴OA=OD=4.∴A(﹣4,0).设直线l的解析式为:y=kx+b,则有4k b0{b4-+==,解得:k1{b4==.∴y=x+4.∴点A坐标为(﹣4,0),直线l的解析式为:y=x+4.(2)弄清动点的运动过程分别求解:①当0<t≤1时,如图1;②当1<t≤2时,如图2;③当2<t<167时,如图3.(3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值.(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论:①如图4,点M在线段CD上,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4,由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=209.②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D,此时△QMN为等腰三角形,t=125.∴当t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.考点:一次函数综合题,双动点问题,梯形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,由实际问题列函数关系式,一次函数和二次函数的性质,等腰三角形的性质,分类思想的应用.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,点P是⊙C外一点,连接CP交⊙C于点Q,点P关于点Q的对称点为P′,当点P′在线段CQ上时,称点P为⊙C“友好点”.已知A(1,0),B(0,2),C(3,3)(1)当⊙O的半径为1时,①点A,B,C中是⊙O“友好点”的是;②已知点M在直线y=﹣3x+2 上,且点M是⊙O“友好点”,求点M的横坐标m的取值范围;(2)已知点D(23,0),连接BC,BD,CD,⊙T的圆心为T(t,﹣1),半径为1,若在△BCD 上存在一点N,使点N是⊙T“友好点”,求圆心T的横坐标t的取值范围.【答案】(1)①B;②0≤m3(2)﹣3t<3【解析】【分析】(1))①根据“友好点”的定义,OB=<2r=2,所以点B是⊙O“友好点”;②设M(m,﹣33m+2 ),根据“友好点”的定义,OM223222m m⎛⎫+-+≤⎪⎪⎝⎭,由此求解即可;(2)B(0,2),C(3,3),D30),⊙T的圆心为T(t,﹣1),点N是⊙T“友好点”,NT≤2r=2,所以点N只能在线段BD上运动,过点T作TN⊥BD于N,作TH∥y轴,与BD交于点H.易知∠BDO=30°,∠OBD=60°,NT 3,直线BD:y3x+2,可知H(t,﹣3 3t+2),继而可得NT=﹣12t+332,由此可得关于t的不等式,解出t的范围即可.【详解】(1)①∵r=1,∴根据“友好点”的定义,OB=<2r=2,∴点B是⊙O“友好点”,∵OC2233+2>2r=2,∴点C不是⊙O“友好点”,A(1,0)在⊙O上,不是⊙O“友好点”,故答案为B;②如图,设M (m ,﹣3m +2 ),根据“友好点”的定义, ∴OM =223222m m ⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭, 整理,得2m 2﹣23m ≤0, 解得0≤m ≤3;∴点M 的横坐标m 的取值范围:0≤m ≤3;(2)∵B (0,2),C (3,3),D (23,0),⊙T 的圆心为T (t ,﹣1),点N 是⊙T “友好点”, ∴NT ≤2r =2,∴点N 只能在线段BD 上运动,过点T 作TN ⊥BD 于N ,作TH ∥y 轴,与BD 交于点H .∵tan ∠BDO =3323OB OD ==∴∠BDO=30°, ∴∠OBD =60°, ∴∠THN=∠OBD=60°, ∴NT =HT•sin ∠3,∵B(0,2),D(23,0),∴直线BD:y=﹣33x+2,∵H点BD上,∵H(t,﹣3t+2),∴HT=﹣33t+2﹣(﹣1)=﹣33t+3,∴NT=3HT=3(﹣3t+3)=﹣12t+33,∴﹣12t+33≤2,∴t≥﹣4+33,当H与点D重合时,点T的横坐标等于点D的横坐标,即t=33,此时点N不是“友好点”,∴t<33,故圆心T的横坐标t的取值范围:﹣4+33≤t<33.【点睛】本题是圆的综合题,正确理解“友好点”的意义,熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键.4.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,点D是边BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A 逆时针旋转90°,得到线段AE,连接DE.(1)如图①,当点E落在边BA的延长线上时,∠EDC=度(直接填空);(2)如图②,当点E落在边AC上时,求证:BD=12 EC;(3)当AB=22,且点E到AC的距离等于3﹣1时,直接写出tan∠CAE的值.【答案】(1)90;(2)详见解析;(3)633 tan11EAC-∠=【解析】【分析】(1)利用三角形的外角的性质即可解决问题;(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.只要证明△BAD≌△PAE(SAS),提出BD=PE,再证明EC=2PE即可;(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,可得EP=3x,EH=2PH=2x,由此FH=2x+3﹣1,CF=23x+3﹣3,由△BAD≌△PAE,得BD=EP=3x,AE=AD,在Rt△ABG中, AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,故AE2=AD2=AF2+EF2,由勾股定理得AF=1+3,由此tan∠EAF=2﹣3,根据对称性可得tan∠EAC=6-33.11【详解】(1)如图1中,∵∠EDC=∠B+∠BED,∠B=∠BED=45°,∴∠EDC=90°,故答案为90;(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.∵∠DAE=∠BAP=90°,∴∠BAD=∠PAE,∵∠B=45°,∴∠B=∠APB=45°,∴AB=AP,∵AD=AE,∴△BAD≌△PAE(SAS),∴BD=PE,∠APE=∠B=45°,∴∠EPD=∠EPC=90°,∵∠C=30°,∴EC=2PE=2BD;(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,∵∠EPH=90°,∠EHP=60°,∴EP3,EH=2PH=2x,∴FH=31,CF3FH=33∵△BAD≌△PAE,∴BD=EP3,AE=AD,在Rt△ABG中,∵AB=2∴AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,∵AE2=AD2=AF2+EF2,∴22+(23)231)2+(4﹣3﹣32,整理得:9x2﹣12x=0,解得x=43(舍弃)或0∴PH=0,此时E,P,H共点,∴AF=3∴tan∠EAF=EFAF 3131-+=23根据对称性可知当点E在AC的上方时,同法可得tan∠EAC 6-33.【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.5.如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,AC⊥BC于点C,将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.(1)求证:四边形ACED是矩形;(2)若AC=4,BC=3,求sin∠ABD的值.【答案】(1)证明见解析(2)613【解析】【分析】(1)根据▱ABCD中,AC⊥BC,而△ABC≌△AEC,不难证明;(2)依据已知条件,在△ABD或△AOC作垂线AF或OF,求出相应边的长度,即可求出∠ABD的正弦值.【详解】(1)证明:∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC,∴BC=CE,AC⊥CE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=CE,AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形,∵AC⊥CE,∴四边形ACED是矩形.(2)解:方法一、如图1所示,过点A作AF⊥BD于点F,∵BE=2BC=2×3=6,DE=AC=4,∴在Rt△BDE中,2222BD BE DE64213=+=+=∵S△BDE=12×DE•AD=12AF•BD,∴AF61313213=,∵Rt△ABC中,AB2234+5,∴Rt△ABF中,sin∠ABF=sin∠ABD=61361313655AFAB==.方法二、如图2所示,过点O 作OF ⊥AB 于点F , 同理可得,OB =1132BD =, ∵S △AOB =11OF AB OA BC 22⋅=⋅, ∴OF =23655⨯=, ∵在Rt △BOF 中,sin ∠FBO =0613513F OB ==, ∴sin ∠ABD =613.【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质,矩形的判定和性质,平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度,关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD .6.如图,△ABC 中,AC =BC =10,cosC =35,点P 是AC 边上一动点(不与点A 、C 重合),以PA 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE ⊥CB 于点E . (1)当⊙P 与边BC 相切时,求⊙P 的半径.(2)连接BP 交DE 于点F ,设AP 的长为x ,PF 的长为y ,求y 关于x 的函数解析式,并直接写出x 的取值范围.(3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409R=;(2)25880320xy x xx=-++;(3)50105-.【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=10RR-=45,即可求解;(2)首先证明PD∥BE,则EB BFPD PF=,即:2024588x yxxxy-+--=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=EP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=10RR-=45,解得:R=409;(2)在△ABC 中,AC =BC =10,cosC =35, 设AP =PD =x ,∠A =∠ABC =β,过点B 作BH ⊥AC ,则BH =ACsinC =8,同理可得:CH =6,HA =4,AB =45,则:tan ∠CAB =2, BP =228+(4)x -=2880x x -+,DA =25x ,则BD =45﹣25x , 如下图所示,PA =PD ,∴∠PAD =∠CAB =∠CBA =β,tanβ=2,则cosβ5,sinβ5,EB =BDcosβ=(525x )5=4﹣25x ,∴PD ∥BE ,∴EB BFPD PF=,即:2024588x y x xx y-+-=,整理得:y 25xx 8x 803x 20-++(3)以EP 为直径作圆Q 如下图所示,两个圆交于点G ,则PG =PQ ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D , GD 为相交所得的公共弦, ∵点Q 是弧GD 的中点, ∴DG ⊥EP , ∵AG 是圆P 的直径, ∴∠GDA =90°, ∴EP ∥BD ,由(2)知,PD ∥BC ,∴四边形PDBE 为平行四边形, ∴AG =EP =BD ,∴AB =DB+AD =AG+AD =5 设圆的半径为r ,在△ADG 中,AD =2rcosβ5DG 5AG =2r ,5=52r 51+, 则:DG 550﹣5相交所得的公共弦的长为50﹣5 【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.7.如图,在ABC △中,10AC BC ==,3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点(不与点,A C 重合),以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P与边BC相切时,求P的半径;()2联结BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;()3在()2的条件下,当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409;(2)()25880010320x x xy xx-+=<<+;(3)1025-【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=R10R-=45,即可求解;(2)PD∥BE,则EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+-=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=GP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=35,sinC=HPCP=R10R-=45,解得:R=409;(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,则BH=ACsinC=8,同理可得:CH=6,HA=4,AB=45,则:tan∠CAB=2BP=()2284x+-=2880x x-+,DA=25x,则BD=45-25x,如下图所示,PA=PD,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,tanβ=2,则55EB=BDcosβ=(555x)525x,∴PD∥BE,∴EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+=,整理得:y=)2x8x800x103x20-+<<+;(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q时弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴5设圆的半径为r,在△ADG中,55AG=2r,5551+,则:55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.8.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,CG是⊙O的弦∠PCA=∠ABC,CG⊥AB,垂足为D(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求证:PA AD PC CD=;(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE,若sin∠P=35,CF=5,求BE的长.【答案】(1)见解析;(2)BE=12.【解析】【分析】(1)连接OC,由PC切⊙O于点C,得到OC⊥PC,于是得到∠PCA+∠OCA=90°,由AB为⊙O的直径,得到∠ABC+∠OAC=90°,由于OC=OA,证得∠OCA=∠OAC,于是得到结论;(2)由AE∥PC,得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG,于是得到∠ACF=∠ABC,由于∠PCA=∠ABC,推出∠ACF=∠CAF,根据等腰三角形的性质得到CF=AF,在R t△AFD中,AF=5,sin∠FAD=35,求得FD=3,AD=4,CD=8,在R t△OCD中,设OC=r,根据勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB为⊙O的直径,得到∠AEB=90°,在R t△ABE中,由sin∠EAD=35,得到BEAB=35,于是求得结论.【详解】(1)证明:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∴∠PCO=90°,∴∠PCA+∠OCA=90°,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠OAC=90°,∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,∴∠PCA=∠ABC;(2)解:∵AE∥PC,∴∠PCA=∠CAF,∵AB⊥CG,∴弧AC=弧AG,∴∠ACF=∠ABC,∵∠PCA=∠ABC,∴∠ACF=∠CAF,∴CF=AF,∵CF=5,∴AF=5,∵AE∥PC,∴∠FAD=∠P,∵sin∠P=35,∴sin∠FAD=35,在R t△AFD中,AF=5,sin∠FAD=35,∴FD=3,AD=4,∴CD=8,在R t△OCD中,设OC=r,∴r2=(r﹣4)2+82,∴r=10,∴AB=2r=20,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,在R t△ABE中,∵sin∠EAD=35,∴35BEAB,∵AB=20,∴BE=12.【点睛】本题考查切线的性质,锐角三角函数,圆周角定理,等腰三角形的性质,解题关键是连接OC构造直角三角形.9.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值).【答案】拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.【解析】试题分析:过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.解Rt△BCE,求出BE=BC=×1000=500米;解Rt△CDF,求出CF=CD=500米,则DA=BE+CF=(500+500)米.试题解析:如图,过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.在Rt△BCE中,∵∠E=90°,∠CBE=60°,∴∠BCE=30°,∴BE=BC=×1000=500米;在Rt△CDF中,∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=BC=1000米,∴CF=CD=500米,∴DA=BE+CF=(500+500)米,故拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.考点:解直角三角形的应用-方向角问题.10.如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°,沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米,且B、C、D在同一条直线上,山坡坡度i=5:12.(1)求此人所在位置点P的铅直高度.(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计,参考数据:tan53°≈43,tan63.4°≈2)【答案】(1)此人所在P的铅直高度约为14.3米;(2)从P到点B的路程约为127.1米【解析】分析:(1)过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,设PF=5x,在Rt△ABC中求出AB,用含x 的式子表示出AE,EP,由tan∠APE,求得x即可;(2)在Rt△CPF中,求出CP的长.详解:过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,∵斜坡的坡度i=5:12,设PF=5x,CF=12x,∵四边形BFPE为矩形,∴BF=PEPF=BE.在RT△ABC中,BC=90,tan∠ACB=AB BC,∴AB=tan63.4°×BC≈2×90=180,∴AE=AB-BE=AB-PF=180-5x,EP=BC+CF≈90+120x.在RT△AEP中,tan∠APE=1805490123 AE xEP x-≈=+,∴x=207,∴PF=5x=10014.37≈.答:此人所在P的铅直高度约为14.3米.由(1)得CP=13x,∴CP=13×2037.1,BC+CP=90+37.1=127.1.7答:从P到点B的路程约为127.1米.点睛:本题考查了解直角三角形的应用,关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形,找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题,构造直角三角形,用勾股定理或三角函数求相应的线段长.。

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