我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。
这是因为：若令 q idt （电荷），则例2-1①式的结果变
为：
L
d 2q dt 2
R
dq dt
1 C
q
ui
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系
统也可以有相同形式的数学模型。
[定义] 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称 该系统 为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线 性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输 出叠加得到。
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应 的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在 经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程 应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大 的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可 在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到 等效的线性环节。
[线性定常系统和线性时变系统] 可以用线性定常（常系数）微 分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方 程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。
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概述
[非线性系统] 如果系统不能满足叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
典型非线性环节：
饱和、滞环、间隙、 干摩擦等
经典控制理论中（我们正在学习的），采用的是单输入单输 出描述方法。主要是针对线性定常系统，对此有一套完整的理 论和方法。但对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是 极其有限的，可以在一定的近似条件下简化为线性系统。
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中，x, F, m, f , k
分别与q, ui,L, R, 1C 为相似量。
[作用] 利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模 拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
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非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
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控制系统的微分方程
例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输 入量为外力F，输出量为位移x。
Fk
F kx
m
m
f x fx mx
[解]：图1和图2分别为系统 原理结构图和质量块受力分 析图。图中，m为质量，f为 粘性阻尼系数，k为弹性系 数。
[数学模型] 描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数 学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、 信号流图、频率特性以及状态空间描述等。
例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程 求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行 分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第 一步也是最重要的一步。
第二章 自动控制系统的数学模型
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本章的主要内容
控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 脉冲响应函数 各种数学模型的相互转换
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概述
概述
x0 x0 x x
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非线性环节微分方程的线性化
设f(x)在 A(x0, y0 )点连续可微，
y
则将函数在该点展开为泰勒级
数，得：y
f
(x0 )
df (x) dx
| x x0
y0
(x x0 )
y0
y0
1 df 2(x) 2! dx2
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控制系统的微分方程
第一节 控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中 所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电 路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等， 这种方法称为用分析法建立系统的数学模型。
另外一种方法是实验法。即人为地给系统施加某种 测试信号，记录其输出响应，并用适当地数学模型逼近， 这种方法又称为系统辨识，现在成为一门独立学科分支。
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非线性环节微分方程的线性化
设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y
若的取某一平。衡A点状附态A(近为x0,有工y0点作) 点，如右图中y0
为 B(x x, y y) ，当x 很小时，
y0
y0
AB段可近似看做线性的。
0
B y f (x) A
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线 性系统，定常系统和时变系统。
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概述
[线性系统] 如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加 原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于 两个作用函数单独作用的响应之和。
线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处 理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。
本节讨论用分析法建立系统的数学模型。
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例2-1 写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：根据电路定理：
L
di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
1
u d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
图1
图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
mx fx kx F
这也是一个二阶定常微分方程。x为输出量，F为输入量。
在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m
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相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]
1、相似系统和相似量：