第二节
二元函数的一阶、二阶偏导数
一、二元函数的一阶偏导数
1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数
z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定
义，若一元函数z
f(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数
z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作
f x (x 0，y 0) ，或z x |x
x 0，或
y y 0 f(x 0，y 0)
z
；
，或 |x x x
x yy
若一元函数z
f(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函
数
z f (x ，y)
在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |x
x 0，或
f(x 0，y 0)
，或 y y y 0
z x 0。

|x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。

3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数
z
f(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都
有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导
数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新
的二
元函数分别称
为
z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z
，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z。

x x y
y 二、二阶偏导数
1、定义——二元函数 z
f(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数
z f (x ，y)
的二阶偏导数，共有四个，分别记作
f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2
(x ，y)
2z
x 2 ，或
x 2
2
，
2
f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或
f(x y)，或 z y x x y
2 ，
2
f yx(x，y) (f y(x，y))x，或z yx，或f(x y)，或z
y x
x y
f yy(x，y) (f y(x，y))y，或z yy，或f2(x，y)，或2z。

y2y2。