f3
xe y
f1
f
3
2z
x y
e y f1
fzf12
( f 11 xe y f 13 1)
ux y
( f 21 xe y f 23 1)
x yx y
xe2 y f 11 e y f 13 xe y f 21 f 23.
21
例8 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
的偏导数为
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u
x
zv
y
w
8
例3. 设 z eu sin v , u x y , v x y , 求 z , z .
x y
z 解: x
z v v x
u、v回代
eu sin v eu cos v 1
开始对答案
13
练习1. z y , x et , y 1 t,求 dz .
x
dt
解 ：dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(1)
t
2 et
.
14
2. z u2 ln v, u x , v 3x 2 y， 求 z , z .
y
x y
解：z z u z v
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
27
七、设z
y , 其中为可导函数,
f (x2 y2)
验证: 1 z 1 z z . x x y y y 2
八、设z [ x ( x y), y],其中 , 具有二阶导数,求
解 在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
u
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
y
y
xy
22
练习1. 设f ( x2 y, y ),
y 2 y 3
f 2
x2 y4
f 22 .
30
八、 2 z x 2
11 (1 )2
1 ,
2z y 2
11 ( )2
12
1
21
22 .
31
中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u,v, w) , u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
f1 f2 f3
z
uv w t tt
4
例1 设 z u2 v , u sin x, v e x ,求 dz .
2z 2z x 2 , y 2 .
28
练习题答案
一、1、cos y(cos x x sin x) , x cos x( y sin y cos y) ；
y cos2 x
y 2 cos2 x
2、2 x ln(3 x 2 y) 3 x 2 ,
y2
(3x 2 y)y2
2x2 ln(3x 2 y)
把把v看u看成成常常数数
dx
解 dz z du z dv dx u dx v dx
2u cos x (-1)e x u、v回代
sin2x ex .
z
uv xx
法二： z u2 v sin2 x ex
dz 2sin x cos x ex dx
sin2x ex .
5
z
z
z v
y
v y
uv
x yx y
eu sin v eu cos v 1
9
例4 设 z ln( u 2 v )，而 u e x y2 , v x 2 y，
求
z x
,
z y
.
z 解: x
z v v x
z uv
x yx y
2u u2 v
e x y2
1 u2 v
2x
2e2( x y2 ) 2 x e2( x y2 ) x2 y .
例2 设 z uv sin t ，而 u e t ，v cos t ，
求全导数 dz . dt
对中间变量求偏导
z
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
vet usint cos t
uvt ttt
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
18
例6 设
求 w 和 2w . x xz
f 具有连续偏导数,
w
解 令 u x y z, v xyz, 则
uv
w f (u, v)
w
f yz
x
v
f2 yz
x y zx y z
yz
f
2
为简便起见 , 引入记号： 记
f12
2 f (u,v) , uv
同理有
f2,
f1
f
(u, v ) u
解 z f f u yu xy 2x x x u x y3 3x2 y，
z x yu
z f f u xu xy 2 yyຫໍສະໝຸດ y u yx3 3xy2 .
xy
16
你做对了吗？
17
三、抽象函数求偏导数 多元抽象复合函数求导在偏微分方程
变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个 例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与 常用导数符号.
,
f11, f22 ， 等等.
19
w
f (x
y z, xyz), w x
f1
yzf2
2w xz
( z
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz
f2 z
;
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
fwf21 uv
f2 f2 u f2 v z u z v z
f21
1 u2 2u ln v 3
x u x v x
yv
2x ln(3x 2 y)
3x2
y2
(3x 2 y)y2 .
z z u z v
x u2
y u y v y
2u ln v ( y2 ) v (2)
2 x2 ln(3 x 2 y)
2x2
y2
(3x 2 y)y2 .
15
3. 设 z xyu, u x2 y2 ,求 z , z . x y
2x2
；
y3
(3x 2 y)y2
3、 3(1 4t 2 ) . 1 (3t 4t 3 )2
二、 z x
[2x
y
2x2 y
xy
]e x2 y2
(x2 y2)y2
,
z y
[2 y
x
2y2 (x2
x y2
xy
]e ( x2 y2 ) . )
29
三、 dz e x (1 x) . dx 1 x 2e 2x
6
二、二元复合函数求偏导 （复合函数的中间变量均为多元函数的情形.）
定 理 设 z f (u, v) 具 有 连 续 偏 导 数 , u ( x, y) , v ( x, y) 可偏导,则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)]
可偏导, 且有链式法则：
z x
z u u x
z v v x
2z
e
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
注意: 这里 u与 f 不同,
x x
xy
u
x 表示固定 自变量y 对自变量 x 求导,
f x
表示固定中间变量
y、z对
中间变量x
求导.
11
例5. u f ( x, y, z) e x2 y2z2 , z x2sin y, 求 u , u
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
x
y
z
六、 2 z x 2
f11
2 y
f 12
1 y2
f 22 ,
2z
xy
x y2
(
f 12
1 y
f 22 )
1 y2
f 2,
2z 2x
第六节
第七章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数 求导法则
本节内容: 一、 全导数 二、 二元复合函数求偏导
三、 抽象函数求偏导
1
多元函数经复合运算后，一般仍 是多元函数，也可能成为一元函数。 按前面关于多元函数的讨论方法，复 合函数求导法则的研究可从复合后成 为一元函数的情况开始。
这就是全导数问题。
二、设z
v
ue u ,而u
x2
y2,v
xy ，求z
, z
.
x y
26
三、设z arctan(xy),而y e x ,求dz . dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导