第四节 多元复合函数的求导法则
第八章
一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
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一元复合函数 求导法则 微分法则
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一、多元复合函数求导的链式法则
z f (u , v) 定理1. 若函数 在对应点（u, v）可微, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
f dx dt y x t x dx z dz f f dz y t z z
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例10. 已知
求
解: 由条件
两边求微分, 得
又因为 所以

(△t＜0 时,根式前加“–”号)
为了与偏导数区别, 称为全 d z f du f dv 导数， 全导数还可以写成: dt u dt v dt d z z du z dv dt u dt v dt
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注: 若定理中 则定理结论不一定成立. 如:
z z x , s x s
z
z z x z dy t x t y dt
x
s t
y
t
注：在应用链法则时， 有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要 注意防止记号的混淆.
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如, z f ( x, y ), y ( x, t ) 当它们都具有可微条件时, 有
可微减弱为偏导数存在,
z f (u, v)
u t, vt
易知:
u 2v 2 2 , u v 0 2 2 u v 0, u 2 v2 0
但不可微（验证），此时复合函数
dz 1 dt 2
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z du z dv 0 1 0 1 0 u d t v d t
d z f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量 有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以 f f z u v o ( ) u v
上式两端同时除以△t ，得到
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z
u
t
v
t
Байду номын сангаас
z f u f v o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t u t v t t z 则有 u 0 , v 0 , u du v dv u v , t dt t dt t t o( )
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做一阶全微分形式不变性.
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利用这个性质，容易证明，无论 u, v 是自变量还是 中间变量，都有下面的微分法则： d(uv) v d u u d v
d(u v) d u d v
u vdu u dv d 2 v v
t z f ( t, t ) 2
定理2. 设 z f (u, v) 在对应点可微 u ( x, y )， v ( x, y ) 偏导数都存在，
则
z
u v
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
x
y x
y
z
u v w
t t t
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u, v, w) , u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
( x2 y 2 ) xy ln( x2 y 2 ) ( ydx xdy ) y ln( x2 y 2 )
所以
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例 9. .设 u f ( x, y , z ), y ( x, t ), t ( x, z ) 都可微, 求d z. 解: 利用一阶全微分形式不变性，有
f 22 xy 2 f 2 f f11 y( x z ) f12 xy z f y f , 22 , f12 2 为简便起见 , 引入记号 f1 u u v
f12 xy
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二、一阶全微分形式不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量 和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性， 可以不再 考虑这种区别，使计算变得方便。
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例 8. 求 z ( x y ) 的全微分和偏导数. v 2 2 v xy z u 则 解: 设 u ( x y )
2 2 xy
(2 xdx 2 ydy )
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u 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 例2.
解
z x
e sin v
u
z v v x
z z , . x y
e cos v 1
u
z
u v
z y
z v v y
x y x y
eu sin v
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例7. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u , v) x y zx y z w f 2 yz x yz f 2 ( x y z , xyz ) 2w x z
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dz . 例4. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z z 解: d t u d t t u v t t ve cos t t t t e (cos t sin t ) cos t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
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例5. 设 z f x, y ，x ( s, t )， y (t ) 都具备可微 条件， 求复合函数 z f ( ( s, t ), (t )) 的偏导数. 解: 如左图，有
z f
x
y
z f x x z t
x t
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z 表示 复合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导 x f 表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导 x
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例6. 设 u f ( x, y, z ), y ( x, t ), t ( x, z ), 都有一阶 u u u 连续偏导数，求 和 . x z 解: 代入中间变量，得到复合函数 x y z u f ( x, ( x, ( x, z )), z ) t x u f f f z x x x y x y t x u f f z z y t z
eu cos v 1
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2 2 xy z ( x y ) 的偏导数. 例3. 求
解: 这是一个幂指函数， 有了多元函数的链法则， 就不需要用对数求导法了. u x2 y 2和 v xy z ( x2 y 2 ) xy 由 z u v， 复合而成，于是 z z u z v v vu v 1 2 x u ln u y x u x v x 2 2 x y 2 2 xy 2 2 (x y ) 2 y ln( x y ) 2 x y 同理可得 z vu v1 2 y u v ln u x y 2 2 xy 2 2 2 2 (x y ) 2 x ln( x y ) 2 x y
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dz . 例1. 设 z x y 3xy ， 其中 x e , y sin t， 求 dt dz z dx z dy 代入 解: 解法一， dt x dt y dt (2 xy 3 y 4 )et ( x2 12 xy3 )cos t
2 4 t
(2et sin t 3sin 4 t )et (e2t 12et sin 3 t )cos t
解法二， 先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin 4 t， 所以
dz 2e 2t sin t e 2t cos t 3et sin 4 t 12et sin t cos t dt