w w du w v w t x u dx v x t x
2x w y w yz w, u v t
w y

w v

v y

w t

t y

x
w v

xz
w. t
w w t xy w. z t z t
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
x
x
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
写成 z , u , v .
dx dx dx
x x x
公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自
y2 u5

z2)


3 u3

3 u3

0.
二、全微分形式不变性
与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全 微分也有形式不变性.也就是说不论u，v是自变量还是 中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即
dz z du z dv.
(7)
u v
这个性质称为全微分的形式不变性.
例2 设z f (x2 y2, xy) ，其中f(u,v)为可微函数，求
z , z . x y
解 令u x2 y2,v xy，可得
z z u z v x u x v x
2x z y z ， u v
z z u z v 2 y z x z ，
变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du . dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v (x, y) 有偏导数， 求复合函数 z f [x, (x, y)] 的偏导数 z , z .


1 u3

3x u4

x x2 y2 z2


1 u3

3x2 u5
.
由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以同样有
2w y2


1 u3

3y2 u5
,
2w z 2


1 u3

3z2 u5
.
因此有
2w x 2

2w y 2

2w z 2


3 u3

3( x 2
yx y1 2e2t x y ln x 1 t
2 yx y 2x y 2x y ( y 1)
2t 2t (lnt 1).
例6 设z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)为可微函数，求 z , z . x y
解 令v=xcosy，得
z f f v f cos y f .
例8
求u
x2
x y2 z2
z z u z v z w.
(2)
x u x v x w x
同理可得到，
z z u z v z w.
(3)
y u y v y w y
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x, y, z), v (x, y, z) 都有偏导数，求复合函数
d(u v) du dv,
d(u v) udv vdu,
d
u v


vdu v2
udv
(v 0).
例如，d(u v) (uv) du (uv) dv vdu udv.
u
v
利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公
式，求函数的全微分会更简便些.
dy
z u dx u dy z v dx v dy u x y v x y
z du z dv. u v
即，当u，v是中间变量时，(7)式也成立.这就证明了 全微分形式不变性.
利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分 的四则运算公式，
x x v x x
v
z f v xsin y f .
y v y
v
求复合函数的二阶偏导数，不需要新的方法和新的 公式，只需把一阶偏导数看作一个新的函数，应用 链式法则对它再求偏导数即可.
例7 设 w 1 ,u x2 y2 z2 ，求证： u
x u x v x z z u z v .
(1)
y u y v y
复合函数的结构图是
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v
(*)
x u x v x
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
z yexy sin( x y) exy cos( x y) x
exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z xexy sin( x y) exy cos( x y) y
exy[xsin( x y) cos( x y)].
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.
第一条是 x u z，第二条是 x v z，所以公
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路
径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z,
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy[xsin( x y) cos( x y)].
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v， 用x，y代入，则得到 z exy sin( x y) ，z 是x，y二元复合函数，根 据复合函数的链式法则，得
y u y v y
u v
其中 z , z不能再具体计算了，这是因为外层函数f u v
仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.
例3 设 w f (x2, xy, xyz)，其中f(u,v,w)为可微函数， 求 w, w, w.
x y z
解 令 u x2,v xy,t xyz.可得
在该例中，我们清楚看出 z与f 含意是不同的. x x
f sin v 4x sin( x2 y2) 4x.
x
显然不等于
z .
x
例5 设 z x y , x e2t , y ln t,求 dz . dt
解t y dt
2w x2

2w y2

2w z 2

0.
证
w x

dw du

u x


1 u2

x2
x y2

z2


x u3

(
x)

1 u3
.
2w x 2


1 u3

x
x


1 u3



1 u3

xddu

1 u3


u x
事实上，设z=f(u,v)有连续偏导数，当u，v是自变 量时，显然(7)式成立.
如果u，v是中间变量，即 u (x, y),v (x, y) ，
且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数
z f [(x, y), (x, y)]
的全微分为 dz z dx z dy, x y
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的
函数，即u (x, y),v (x, y) ，如果能构成z是x ,y的
二元复合函数
z f [(x, y), (x, y)],
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
u (x, y),v (x, y), w (x, y) 都有偏导数，求复合函数 z f [(x, y), (x, y), (x, y))
的偏导数 z , z . x y
由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 z x
由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积，即