k BT
n
k BT
k BT
e
1
§3.4 晶格振动谱的实验测定方法
晶格振动谱的实验测定，是人们认识原子的微观运动、 揭示固体的宏观性质的微观本质的有力工具。
一、光子散射
光子与格波振动相互作用导致固体在红外波段 （10 ~ 100 m）有吸收峰。
如：（1）长光学横波与红外光子的电磁耦合；
平衡位置展开（势能）：
能量零点
3N
=0
忽略 简谐近似
2 U 1 3N U U U0 u ui 2 u u ui u j ...... i 1 i , j 1 i 0 i j 0
N个原子的振动动能：
1 3N 2 T mi ui 2 i 1
一般是3N个简正振动模式的线性迭加。
一维简单晶格
2Q 0, i 1,2,,3N . Q i i i
一维简单晶格的N个原子振动可等价于N个谐振子振动。 谐振子的振动频率就是晶格的振动频率。
二、晶格振动能
2Q 0 , i 1,2 , ,3 N .）解谐振子的 谐振子运动方程（ Q i i i 振动能：
1 i ni i 2
晶格振动能：
1 E ni i 2 i 1
3N
晶格振动能是量子化的。 能量增减以ħ为计量。
三、声子
声子：既然晶格振动能量增减是以ħ为计量的。假想一种 粒子——声子携带该能量。声子是晶格振动的能量量子。 声子是假想粒子。 声子是准粒子， ħq为声子的准动量。 其它粒子（如光子、电子）与晶格相互作用时，恰似与能 量为ħ，动量为ħq的粒子的作用。 声子是虚粒子，它不携带真实的动量。
一维简单原子链，波矢q的格波的总动量
N d N it Pq m un imAe eiqna dt n 1 n 1
q
2l Na
Pq imAeit e
n 1
N
i
2nl N
imAeit
e
i
2l N
1 e 0
i 2l i 2l N

k k q
长声学波的频谱（光子的布里渊散射）：
光波： c k n
晶体中声速
长声学波： v Aq
q k k c / n v A
,


k q k
弹性碰撞
光子散射
k k ,
等腰三角形
§ 3.3 一、简正振动
简正振动 声子
相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。
1 A B ' U 0 m n 2 i j rij rij
设N个原子的位移矢量分别为 (u1, u2, u3)， (u3, u4, u5)，…， (U3N-2, U3N-1, u3N)。 则 U = U(u1, u2, …, u3N)
问题：温度一定，对于频率为的谐振子，其平均声子数 为多少？
晶体温度T，频率为的谐振子的平均声子数为（玻耳 兹曼统计理论）：
n
ne
n 0 n 0

n / k BT
x k BT
n / k BT e
n
ne
n 0

nx
e
n 0
1 e
声子具有等价性——波矢为q的声子与波矢为q+Km的 声子是等价的。波矢为q和q+Km的格波的解是一样的。
“声子”概念对晶格振动能的解释：
1 E ni i 2 i 1
3N
频率i的谐振子，其能量niħi 为ni个声子携带。
晶体温度是晶格振动能量的反映。 温度高，晶体的振动能高。
q 2 k sin
和散射方向决定

2
q 的方向由光子入射
光子与光学波声子的作用（光子的喇曼散射）：
红外光波长：毫米~微米 二、中子散射 中子只与原子核作用。 中子的质量为m，入射中子的动量为P，散射后中子的 动量为P。则
P P 2m 2m
标准简谐阵子振动方程
只有频率的模式振动时，解为：
Q A sin t
则：
每一个原子都以相同的频率作 振动，这是最基本的振动方式， 称为格波的简正振动。
ai ui A sin t , mi
i 1,2 , ,3 N .
实际的（原子振动）格波振动如何？
拉格朗日函数
1 3N 2 1 3N 2 2 L Qi i Qi 2 i 1 2 i 1 1 3N 2 H Pi i2Qi2 2 i 1
哈密顿函数


正则方程
H Pi Qi
2 Qi i Qi 0 ,
i 1,2 , ,3 N .
为了消去势能中的交叉项，引入简正坐标Qj：
mi ui aijQ j
j 1
3N
简正坐标Qj表示的动能和势能：
正则动量 P i L Q i Q i
1 3N 2 2 U i Qi 2 i 1 1 3N 2 T Qi 2 i 1
简谐振子振动方程 说明：晶体内原子在平衡位 置附近的振动可近似看成3N 个独立的谐振子的振动。 i是晶格振动频率
（2）晶体的光致折变。
格波与光波相互作用可理解为光子与声子的碰 撞，产生散射。
有关相互物理量： 粒子 作用前 作用后 光子 声子 光子 频率 波矢 k q(发射） k

声子

q(吸收）
能量和准动量守衡：
吸收声子 k q k
发射声子 k q k
nx
d nx ln e dx 数与 温度成正比， n 0 与频率成反 比。
d 1 1 ln dx 1 e x e x 1 1 / k BT e 1
T很高