3
Sc ω Vc ω 2 dω , dω 2 2 3 2π v 2π v 一维有一支纵波，二维有一支纵波一支横波， 一维有一支纵波，二维有一支纵波一支横波，三维有 一支纵波两支横波， 一支纵波两支横波，纵波与横波速度相等
Lc 2 dω , 2π v
Sc ω dω , 2 2π v
Vc ω 2 dω 2 3 2π v
E = ∑Ei =
i=1 3N
∑
i =1
3N
hωi
hωi
kBT
e
−1
1 + ∑ hωi i =1 2
3N
2 kBT 3N ∂E e hωi C = = kB ∑ V 2 kBT hωi ∂T i =1 kBT e −1 hω 2 kBT ωm e hω C = ∫ kB ρ(ω)dω V 2 kBT 0 hω kBT e −1
x n = x n+ N
πa 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
−π a
o
一维双原子链振动
2n-2 2n-1 M m a
..
2n
2n+1 +
2n+2 +
ω
ωO
M
m
x 2n+1 = β (x
..
x 2n
= β (x 2 n+1 + x 2 n−1 − 2 x 2 n )
2n+ 2
+ x 2n − 2 x 2n+1 )
hq 。
3N种声学声子， (3n-3)N种光学声子。 种声学声子， 种光学声子。 种声学声子 - ) 种光学声子
确定晶格振动谱的实验方法
1.方法： 中子的非弹性散射、光子散射、 射线散射 射线散射。 中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。 2.原理(中子的非弹性散射) 由能量守恒和准动量守恒得： 由能量守恒和准动量守恒得：
ω ∝ β 1/ 2
εS → ∞
ω TO → 0,
ห้องสมุดไป่ตู้
β →0
3.极化声子和电磁声子 因为长光学波是极化波， 因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观 的极化电场， 极化声子。 的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。 长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质， 长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学
1.非简谐效应：
1 ∂2U 2 1 ∂3U 3 2 3 U( R0 +δ ) ≈ U( R0 )+ 2 δ + 3 δ = cδ − gδ 2! ∂R R 3! ∂R R
0 0
2.声子与声子相互作用：
hω1 + hω2 = hω3 K h = 0 正常过程 v K h ≠ 0 反常过程 v v v hq1 + hq2 = hq3 + hKh ∞ δe−u k Tdδ − 3.晶体的热膨胀现象： δ = ∫ ∞ ∞ −u k T ∫−∞e dδ 4.晶体的热传导现象：
hωi
2.频率分布函数
∆n 定义： ρ(ω) = 定义： lim∆ω 0 ∆ω→
计算： 计算：
ρ(ω) = ∑
(2π)3 ∫s α=1
3n
V c
α
∇qω (q) α
s d
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型
德拜模型 为弹性波（ 为弹性波（ω = vq ）；
(1)晶体中原子的振动相互独立； 晶体视为连续介质, (1)晶体中原子的振动相互独立； 晶体视为连续介质,格波视 晶体中原子的振动相互独立 (1) (1)晶体视为连续介质 (2)所有原子具有同一频率ω； 所有原子具有同一频率 (3)设晶体由 个原子组成 (3)设晶体由N个原子组成,共 设晶体由 个原子组成, 有3N个频率为ω的振动。 个频率为 的振动。
..
n-1 m a
n
n+1 +
n+2 +
m x n = − β ( x n − x n −1 ) − β ( x n − x n + 1 )
xn = Ae
色散关系
ω =2 β
m
−i(ωt −naq)
2
ω
β
m
sin
aq 2
波矢q范围 波矢 范围 B--K条件 条件 波矢q取值 波矢 取值
π π − <q≤ a a
B B
3g = 2 kBT 4c
1 κ = C λv V 3
1 3 κ∝ 低温时: κ ∝T 低温时: 高温时: 高温时: T
长 波 近 似
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程 离子晶体的长光学波
v v v & = b W +b E & W 11 12 v v v P = b21W + b22E
21
附加了极化。 二项表示电场 E 附加了极化。
2.LST关系
ω ω
2 T0 2 L0
ε∞ = εs
光频介电常量 光频介电常量
---著名的 著名的LST关系 著名的 关系
静电介电常量
(1) Qω s > ω ∞ ,∴ω Lo > ωTo
(2)铁电软模(光学软模) (2)铁电软模(光学软模) 铁电软模
ρ (ω )dω 1
e
hω k BT
−1
ρ (ω )d ω
∫
ωd
1 e
hω k BT
0
−1
ρ (ω )dω
1 1 (3) hω + hωρ (ω )dω k T 2 −1 e
B
∫
ωD
0
1 1 hω + hωρ (ω )dω kT 2 −1 e
B
2.应用德拜模型计算一维、二维和三维情况下晶格振 应用德拜模型计算一维、 应用德拜模型计算一维 动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、 动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、平均 晶格能、晶格比热及其高低温极限。 晶格能、晶格比热及其高低温极限。 解： 1）模式密度： （ ）模式密度： 2 3 L L L 波矢空间波矢密度： 波矢空间波矢密度： , ,
d2u fnk = − 2 xnk = −βnk xnk dr r0
d2u βnk = 2 dr r0
在简谐近似下， 在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的 线性叠加。 线性叠加。
模型 运动方程 试探解
一维无限长原子链， ， ， 一维无限长原子链，m，a，β n-2 m
确定晶格振动谱的实验方法 能量守恒和准动量守恒 晶体比热
模式密度（频率分布函数）、爱因斯坦模型、 模式密度（频率分布函数）、爱因斯坦模型、德拜模型 ）、爱因斯坦模型 非简谐近似、正常过程、反常过程、 晶体的非简谐效应 非简谐近似、正常过程、反常过程、 长波近似 黄昆方程、铁电软模（光学软模）、极化声子、 黄昆方程、铁电软模（光学软模）、极化声子、电磁声子 ）、极化声子
P2 ' P2 v − = ±hω( q ) “+”表示吸收一个声子 ” 2Mn 2Mn
v v v v P'−P = ±hq + hKh
三轴中子谱仪。 3.仪器： 三轴中子谱仪。
“-”表示发射一个声子
晶 体 比 热 3 Nk B 高温 1.固体比热的实验规律 C v = 3 ∝ T → 0 低温
ρ (ω ) :
Lc 1 , π v
Sc ω , 2 π v
ωD
3Vc ω 2 2π 2 v 3
dω = 2 N ,
2
ωD
（2）德拜频率 ）
ωD
∫
0
Lc 1 dω = N , π v
∫
0
Sc ω
π v
12
2
∫
0
3Vc ω 2 2π
2
v
3
dω = 3 N
ωD :
πNv
Lc
,
4πN S C
D
高温时与实验相吻合，低温 高温时与实验相吻合， 时以比T 更快的速度趋于零。 时以比 3更快的速度趋于零。
高低温时均与实验相吻合， 高低温时均与实验相吻合，且 温度越低，与实验吻合的越好。 温度越低，与实验吻合的越好。
k Bθ E = hω
局限性
hω θE = kB
hω D θD = kB
晶体的非简谐效应
2π 2π 2π
2
q ~ q + dq L L 中的波矢数目： 中的波矢数目： d q , 2π 2π ω ~ ω + dω Lc 2 中的振动模式数目： 中的振动模式数目：2π v dω ,
L 2π qd q , 4π q 2 d q 2π
(2)有一支纵波两支横波； (2)有一支纵波两支横波； 有一支纵波两支横波 (3)晶格振动频率在 (3)晶格振动频率在 0 ~ ω D 之间 为德拜频率) (ωD为德拜频率)。
E=∫
ωD
hω 1 E = 3N hω + hω kBT 2 −1 e
0
hω 1 + hω ρ ( ω )dω hω kBT 2 −1 e
ρ(ω) =
9N
3 ωD
ω2
爱因斯坦模型
德拜模型
θE CV = 3NkBfE T θ 2 e T θE θE
E
f = 2 T T θE T e −1
θD C = 3NkB f V T 3 θ x θD T T e f = 3 ∫ x4dx T θD 0 (ex −1)2