x D关于x、y轴对称 y

2I D / 2 I D 4I D / 4 2I D / 2 ( I D 0)
例1
求以xOy面上的圆域 D {( x, y) | x2 y 2 1} 为底， 圆柱面
2 2 抛物面 z 2 x y x2 y 2 1 为侧面 ，
为顶的曲顶柱体的体积。 并在极坐标系下求其二重积分值
z
2
解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为
V (2 x y )d
2 2 D
其中积分区域D可表示为
O
x
y D {( x, y ) | 1 x 2 y 1 x 2 , 1 x 1}
由D的对称性及被积函数
f ( x, y) 2 x y
2
2
关于x，y均为偶函数可知 V 4
D a
b
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy
II、 y 型区域（先x后y）
V f ( x, y )dxdy dy
D c d
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx
III、方法与步骤
① 绘出区域D的图形： ② 确定积分限： ③ 计算积分： ④ 利用奇偶性简化运算。

例3 计算二重积分
其中
e
D
x y
d
y
D {( x, y) || x | | y | 1}
1
解： 如图 D D1 D2
x y x y x y e d e d e 因此 d D D1 D2
e dx
x 1 0
0
x 1
与直线 2 x
y
y 3
及x轴所围成的闭区域
所以 f ( x, y )dxdy
D
2x y 3 得 解：解方程组 2 y x (3,9),(1,1)
1
dy
0
1
1 (3 y ) 2 y
f ( x, y )dx
3 2 1 3 2 x
D
3 2
x
dx 2 f ( x, y )dy dx
解：
y
x cos( x y)d
D

D
dx x cos( x y )dy
0 0

x
xdx cos( x y )dy
0 0
x

x
xdx[sin( x y )] |
0
x 0
续解
x(sin 2 x sin x)dx
0

1 xd (cos x cos 2 x) 0 2 1 1 [ x(cos x cos 2 x)]0 (cos x cos 2 x) dx 0 2 2 1 3 (1 ) 0 2 2
（2） 极坐标系下二重积分的计算
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D
注： 计算二重积分可利用区域 D的对称性和被积 函 数的奇偶性简化计算。
对 ID
f ( x, y)dxdy
D
有 y f(x,y)是x、y的偶函数（奇函数） x
y 利用极坐标计算二重积分 arctan d 作业 P366 x D 2 2 2 2 其中D是由圆周 x y 4, x y 1
及直线y= 0，y= x所围成的在第一象限内 的闭区域。
解： 在极坐标系中，
于是
y D {(r , ) |1 r 2, 0 }, arctan 4 x y
x 1
e dy e dx
y x 0 1 1 0
1
x 1
x 1
e dy
y
-1
D1
D2
1
x
(e
1
2 x 1
e )dx (e e2 x 1 )dx
ee
1
-1
【相关练习】
①
2 2 sin x y
D ( x, y) | x y 4
0 x
1
1
1
f ( x, y )dy
例5 化出积分区域，把积分 f ( x, y)d
表示为极坐标形式的二次积分
D
D {( x, y) | x2 y 2 a2}
如图，在极坐标系中， D {(r , ) | 0 r a, } 2 2 所以
2 2 2
D
2

② ③
1 x
D
2
y d
2
D为圆域
x2 y 2 4
1 xy d 2 2 1 x y D
D为半圆域
x y 1, x 0
2 2
例4
把下列二重积分
f ( x, y)dxdy
D
化为二次积分
（写出两种积分次序）
积分区域为抛物线
yx
2
2
(2 x
D1
2
y ) d
2
其中 D1 {( x, y ) | 0 y 1 x , 0 x 1} 为D在第一象限部分，于是
1 x 2 3 2 (2 x 2 y 2 )dy 4 [ 1 x 2 (1 x 2 ) 2 ]dx 0 3 1

arctan x d
D D
rdrd d rdr
4 0 1

2
1 2 1 2 3 2 ( ) (2 1) 2 4 2 分的计算
I、 x 型区域（先y后x）
V f ( x, y )dxdy dx
V 4 dx

1
0
0
2 4 (cos t cos 4 t )dt 3 1 2 3 1 3 4( ) 2 2 3 4 2 2 2
2 0 2
解法2：（极坐标系下解）
在极坐标系中，闭区域D可表示为
D {(r , ) | 0 r 1,0 2 }
于是
V d (2 r )rdr
2 0 0
2
1
r 1 [ r ] |0 d 0 4 3 2 3 d 4 0 2
2 2
4
例2 计算二重积分
x cos( x y)d
D
D是顶点分别为 (0,0),( ,0),( , ) 的三角形闭区域