１微积分初步模拟试题一一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2(+∞⋃⒉函数1322+--=x x x y 的间断点是= ． 答案：1-=x⒊曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的斜率是 ． 答案：21 ⒋若⎰+=c x x x f 2cos d )(，则)(x f ' ．答案：x 2cos 4- ⒌微分方程0)(3='+''y y x 的阶数是 ．答案：2二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B⒉若函数x x x f 2sin )(=，则=→)(lim 0x f x （ ）. A ．21 B ．0 C ．1 D ．不存在 答案：A ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先减后增D ．先增后减答案：C⒋下列无穷积分收敛的是（ ）．A ．⎰∞+0d in x x s B ．⎰∞+-02d e x x C ．⎰∞+1d 1x x D ．⎰∞+1d 1x x答案：B⒌微分方程1+='y y 的通解是（ ）２ A. c x y +=221； B. c x y +=2； C.c y x +=e ； D.1e -=x c y 答案：D三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈ 计算极限123lim 221-+-→x x x x ． 解 2112lim )1)(1()2)(1(lim 123lim 11221-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⒉ 设x x y cos ln 23+=，求y '. 解 )sin (cos 12321x x x y -+='x x tan 2321-= 3．计算不定积分x x xd e5e ⎰+ 解 c x x x xx x x ++=++=+⎰⎰e 52d e 5)e d(5d e 5e 4．计算定积分⎰20d sin πx x x 解 ⎰20d sin πx x x 1sin d cos cos 202020==+-=⎰πππx x x x x四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x h =所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）.３微积分初步模拟试题二一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f ．答案：12-x ⒉函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,20,2sin )(x x k x x x f 在0=x 处连续，则k = ． 答案：2⒊曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的斜率是 ． 答案：21 121)(+='x x f ，将0=x 代入上式得21)0(='f ⒋=+-⎰-x x x d )253(113 ．答案：4⒌微分方程0sin )(3=-'+''y y y x 的阶数是 ．答案：2二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈函数2312+--=x x x y 的定义域（ ）． A ．2≠x B ．1≠x C ．2≠x 且0≠x D ．2≠x 且1≠x答案：D⒉若函数x x x f 1sin)(=，则=∞→)(lim x f x （ ）. A ． 0 B ．21 C ．1 D ．不存在 答案：C⒊函数742++=x x y 在区间)5,5(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先减后增D ．先增后减答案：C⒋下列无穷积分收敛的是（ ）．４A ．⎰+∞12d 1x x B ．⎰+∞13d 1x xC ．⎰∞+1d 1x x D ．⎰∞+1d 1x x 答案：A⒌下列微分方程中为一阶线性微分方程的是（ ）A. y x e y +='；B. x y y =+'sin ；C. x y y sin ='；D. x xy y tan sin =+''答案：B三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈ 计算极限286lim 221--+-→x x x x x ． 解 286lim 221--+-→x x x x x 32)1()4(lim )1)(2()4)(2(lim 22-=+-=+---=→→x x x x x x x x ⒉ 设x x y 3ln 5cos +=，求y '.解 xx x x x x x x x y 223ln 35sin 5)(ln ln 3)5(5sin )(ln )5(cos +-='+'-='+'=' 3. 计算不定积分x xx d sin ⎰ 解 x x x d sin ⎰=2c x x x +-=⎰cos 2d sin ⒌ 计算定积分⎰20d cos πx x x 解 ⎰20d cos πx x x 12cos 2d sin sin 202020-=+=-=⎰πππππx x x x x四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，容器的表面积为y ，由已知5.622=h x ，25.62x h = x x x x x xh x y 2505.62442222+=⋅+=+= 22502xx y -=' 令0='y ，解得5=x 是唯一驻点，易知5=x 是函数的极小值点，此时有5.255.622==h ，所以当5=x ，5.2=h 时用料最省．５微积分初步期末模拟试题三一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数241)(x x f -=的定义域是 ．答案：)2,2(-⒉若24sin lim 0=→kxx x ，则=k ． 答案：2⒊已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：21x - 提示：x x x f 1)(ln )(='='，21)1()(x x x f -='='' ⒋若⎰=x x s d in ．答案：c x +-cos 提示：c x x x s +-=⎰cos d in⒌微分方程y x ex y y x +='+'''sin )(4的阶数是 ．答案：3 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B⒉当k =（ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=00,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．1 B ．2 C ．1- D ．0答案：B⒊满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的（ ）。

６ A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点⒋设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰a a x x f -d )(（ ） A ．⎰0-d )(2a x x f B ．⎰0-d )(a x x f C ．⎰a x x f 0d )( D ． 0 ⒌微分方程1+='y y 的通解是（ ）A. 1e -=Cx y ；B. 1e -=x C y ；C. C x y +=；D. C x y +=221 答案：B三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x ． 解 423lim 222-+-→x x x x 4121lim )2)(2()2)(1(lim 22=+-=+---=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y '.解 )sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=⒊计算不定积分x x x d )1(2⎰+ 解 x x x d )1(2⎰+= C x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(2 ⒋计算定积分⎰π0d sin 2x x x 解 ⎰π0d sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 四、应用题（本题16分）欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x ，另一边长为x216，共用材料为y 于是 y =3xx x x 43232162+=+ 24323xy -=' 令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省.。