2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法k k x x cos 3241+=+(1) 证明对R x ∈∀0,均有*lim x x k k =∞→,其中*x 为方程的根.(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=-+.022,1,122321321321x x x x x x x x x三、（8分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组bAX =都是非病态的。
（范数用∞⋅）四、（求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。
六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分[]dx x b ax b a I 2112),(⎰--+=取得最小值。
七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(,1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式⎰-+≈112211)()()(x f A x f A dx x f的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分⎰=211dx e I x八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+),(),()2121(121211hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n（1） 验证它是二阶方法；（2） 确定此单步法的绝对稳定域。
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=-+.022,1,122321321321x x x x x x x x x 二、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法k k x x cos 3241+=+(1) 证明对R x ∈∀0,均有*lim x x k k =∞→,其中*x 为方程的根.(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.三、（8分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组bAX =都是非病态的。
（范数用∞⋅）四、（求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。
六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分[]dx x b ax b a I 2112),(⎰--+=取得最小值。
七、（14分）对于求积公式：⎰∑=≈bank k k x f A dx x f x 1)()()(ρ,其中：)(x ρ是区间),(b a 上的权函数。
（1） 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; （2） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明∑⎰==nk bak dx x A 1)(ρ八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+),(),()2121(121211hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （3） 验证它是二阶方法；（4） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=-+.022,1,122321321321x x x x x x x x x 二、（8分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组bAX =都是非病态的。
（范数用∞⋅）三、（15分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。
构造新的迭代格式：)(1k k k x x x μϕλ+=+问如何选取常数λ及μ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
四、（求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。
六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分[]dx x b ax b a I 2112),(⎰--+=取得最小值。
七、（14分）对于求积公式：⎰∑=≈bank k k x f A dx x f x 1)()()(ρ,其中：)(x ρ是区间),(b a 上的权函数。
（3） 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; （4） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明∑⎰==nk bak dx x A 1)(ρ八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+),(),()2121(121211hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （5） 验证它是二阶方法；（6） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）设方程组b Ax =为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37111221x x （1） 用Doolittle 分解法求解方程组； （2）求矩阵A 的条件数∞)(A Cond二、（12分）设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，为求解方程组b Ax =，建立迭代格式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。
三、（12分）已知数据试用二次多项式c bx ax x p ++=2)(拟合这些数据。
四、（14分）已知 )(x f y = 的数据如下：（1）求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ；（2）为求⎰31)(dx x f 的值，采用算法：R dx x H dx x f +=⎰⎰31331)()(试导出截断误差R五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分dx e b ax b a I x21)(),(⎰-+=取得最小值。
六、（12）确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。
七、（12分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。
对于常数λ，构造新的迭代格式：)(1111k k k x x x ϕλλλ+++=+ 问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+)21,21(),(12121hk y h t f k y t f k hk y y n n n n n n （7） 验证它是二阶方法；（8） 确定此单步法的绝对稳定区域。
2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）给定方程 01)1()(=--=x e x x f (1) 分析该方程存在几个根；(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数； (3) 说明所用的迭代格式是收敛的. 二、（15分）设线性方程组为0,,221122221211212111≠⎩⎨⎧=+=+a a b x a x a b x a x a(1) 证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.(2) 当同时收敛时比较其收敛速度.三、（10分）设A 为非奇异矩阵，方程组b Ax =的系数矩阵A 有扰动A ∆，受扰动后的方程组为b x x A A =∆+∆+))((，若1||||||||1<∆⋅-A A ，试证：||||||||1||||||||||||||||11A A A A x x ∆⋅-∆⋅≤∆-- 四、（求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）已知数据设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得∑==-32min ])([i iiy x f六、（15分）定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f 在},,1{2x x Span H =中求||)(x x f =的最佳平方逼近元素.七、（10分）给定求积公式⎰-++-≈h hh Cf Bf h Af dx x f 22)()0()()(试确定C B A ,,,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss 型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2)0(102y x y dx dy用一个二阶方法计算)(x y 在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 1.0=h 计算结果保留5位有效数字。