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§8－2 二向应力状态分析
平面应力状态：
单元体上有一组面上的应力分量都为零。一 般取应力分量为零的面的外法线为z。这时有：
z zy zx 0， x 0， y 0， xy 0
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Ⅰ. 斜截面上的应力
现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面 (图b)上的应力。
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1、 与截面外法线同向为正； 2、τa 绕研究对象顺时针转动为正； 3、α由x逆时针转向截面外法线为正。
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*主单元体(各侧面上切应力均为零的单元体):关 键是确定三个主平面与三个主应力的关系
tan
20
2 xy x
y
即-900 20 900时，0 0
x
y
时，
指代数值大的主应力
0
对应的主平面的方位;
〈x
y
时，
指代数值小的主应力
0
对应的主平面的方位。
20
例1 单元体如图所示, 试求: (1)指定斜截面上的应力, (2) 单元体的主应力大小, (3)作出主单元体
yz zy
xy
应力状态的九个应力分量中，独立
的只有六个，即：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
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[例8-1-1] 画出表示下列图中的A、B、C点处应力状态
的单元体。
P
A
P
x
A x σx A
σx
y
yx
B
C z
Ｍ
x
B
zx
xz
x
C xy
yx
yx
x
x
xy
xy
3、主单元体、主平面、主应力：
3
Q
N Mz
横截面上正应力分析和剪应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
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即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的，此即应力的面的概念。
过一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态（State of the
Stresses of a Given Point）。
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2、一点处应力状态的表示方法—单元体 (element)
由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出 的微小正六面体── 单元体的三对相互垂直面上的应力来确 定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个 单元体(element)及其上的应力来表示。
特点：a、每一面上，应力均布；
图1 设：斜截面面积为dA，由脱离体平衡得：
Fn 0
dA xdAcos 2 xydAcos sin
n
ydAsin2 yxdAsin cos 0
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考虑切应力互等和三角变换，得：
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
同理：
F 0
dA xdAcos sin xydAcos2 ydAsin cos yxdAsin2 0
n
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
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Ⅱ 二向应力状态下主单元体、主平面、主应力的确定
令
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
0
得：tan
20
2 xy x
y
即-900 20 900时，0 0
*共有三个主平面(即切应力为零的方向面），分别是：
1） =0的方向面为一个主平面；
2）与
=
方向面垂直的方向面也是一个主平面；
stress ）：三个主应力都不为零的应
力状态。
B
zx
xz
6）二向应力状态（state of biaxial
stress ）：只有一个主应力为零，
另两个主应力不为零。 x
7）单向应力状态(state of one
dimensional stress ）：只有一
个主应力不为零，另两个主应力
x A x
30MPa
解: (1) x 10MPa
10MPa 20MPa
xy 20 MPa
0
3）前后面（与z轴垂直的方向面）。
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*二向应力状态下的三个主应力(主平面上的正应力）为：
由
x
y
2
2
2
x
2
y
2
2 xy
三个主应力1，2，3
x
y
2
按代数值从大到小排列
x
2
y
2
2 xy
和0
思考：根据
x
2
y
2
2
xБайду номын сангаас
2
y
2
2，
xy
所有与Z轴
平行的截面中， 何时取得极值？最大值和最小值分别是多少？ 呢？
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第8章 应力状态
（2）在不可能总是通过实验测定材料极限应力， 建立复杂应力状态下的强度条件，如图所示。应力 状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强 度理论) (theory of strength, failure criterion)的 基础。
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第8章 应力状态
本章将研究 Ⅰ. 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三 向应力状态(空间应力状态) 的概念； Ⅱ. 平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系— —广义胡克定律(generalized Hooke’s law)，以及这类应力状 态下的应变能密度(strain energy density)；
第八章 应力、应变
分析基础
第八章 应力、应变分析基础
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6
应力状态的概念 二向应力状态分析 三向应力状态的最大应力 平面应力状态下的应变分析 广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度
§8-1 概 述
1、应力的三个重要概念 应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.
1）主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。
2） 主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。
3）主单元体(Principal Element)： 各侧面上切应力均为零的单元体。
x A x 4）主应力排列：按代数值大小，
1 2 3 9
5）三向应力状态（ state of triaxial
yx
b、平行面上，应力相等。
x、 y、 z、 xy、 yx、 yz、 zy、 zx、 xz
xy xy yx
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剪应力互等定理:
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
yx
xy yx, xz zx ,
为零。
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4、本章学习的目的
研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应 力状态可以：
（1）了解材料发生破坏的力学上的原因，例如 低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最 大的45˚ 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆 截面杆的扭转破坏是由于在45˚ 方向拉应力最大从 而使材料发生断裂(fracture)所致。