当前位置:文档之家› 材料力学第七章__应力和应变分析__强度理论

材料力学第七章__应力和应变分析__强度理论


§7.9 复杂应力状态的应 变密度
变形(应变)比能
1、微元应变能(Strain Energy)
s2
s1dydz~1dx
dy
s 1 s2dxdz~2dy
dz
s 3 dx
s3dydx~3dz
dW=
1 2
s
1d
yd
z
1d
x
1 2
s
2d xd z
2d y
1 2
s
3dxdy
3d z
s 1 1 s 2 2 s 3 3 d x d y 242 xy
R c
s x'



sx s y
2
应2
变 圆
C( x y ,0) 2
R C
R ( x
) ( ) y 2
xy 2
2
2
三、最大应变与主应变
m m a in x1 2[(xy)(xy)2x 2y ]
Tan2
xy
0
x
y
1 ()22]
例 壁厚t=10mm、外径D=60mm的圆筒,在
表面上k点与其轴线成45度角和135度角,x、
y两方向上分别贴上应变片,然后使其承受外 力矩m的作用,发生扭转变形,如图所示。 已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa, v=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内,且k 点横截面上的剪应力为t =80MPa,试求圆筒 k点处的线应变 x、 y及变形后的筒壁厚度。
一、任意方位的应变分析
研究正应变
( O)x B xdcxo s
(O)B y ydsyin
( O)x B yxd y cyo
(d)l(O)B
( O )x B ( O )y B ( O )xy B
( d ) ld cx o d s s y i n d cy o
x
y
xy
(d)l
dl
t xy z E 1[sz(sxsy)
xy
t xy
G
yz
t yz
G
zx
t zx
G
三、三个弹性常数之间的关系
G
E
21
第六节 复杂应力状态的应变比能
一、应变比能
在轴向拉伸或压缩时,根据外力功 和应变能在数值上相等的关系,导 出比能的计算公式为
u 1s s2
2 2E
本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能
(2)求变形后的筒壁厚度 由于k点处的径向方向即为z方向,且 sz=s2=0,所以
z [sz (sx sy)/]E 0
薄壁圆筒纯扭转变形时,筒内任一点 都处在纯剪切应力状态。用类似方法 可推知筒壁中任一点处(该点到圆心 的距离为 )的径向应变为
εzρE(τρτρ)0
因此,该薄壁圆筒变形后 的厚度并无变化,仍然为 t=10mm.
铝块在压力P作用下,上、下两个面及y面 上受到压应力为
σyA P6 016 0 Nm 260MP 铝块在前、后两个面不受约束,在P的
作用下,z方向的变形是自由的,所以
εz 0σ,z 0
铝块在左、右两个面上,由于是刚体,所以 在P力作用下,x方向受到约束力不能变形,故
εx0σ,x0.
由广义胡克定律及上述可得
u v : Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume
ud
ss ss ss 1 6 E1 2 2 23 2 31 2
uv 16E 2s1s2s32
ud uv u
作业
7.19(a)、(b) 7.26 7.28
例每边长均为10mm的钢质立方体放入一个四周为 刚性的立方孔(立方孔的宽度正好是10mm),若
tyx sy
tyx sy
sx
sz
txy
sx
sz txy
s2 s1
s3
200 50
300 s "
s'
50
t s''' s
t
300 s " s '''
50
s
s'
*§7.6位移与应变分量
自学
*§7.7 平面应变分析
当构件内某 点处的变形 均平行于某 一平面时, 则称该点处 于平面应变 状态。
所以 mWtt1d361E45o
例 边长为10mm的铝质方块,紧密无隙 地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽 中,如图所示。当铝块受到P=60MPa的
作用时,设钢块不变形。若铝的弹性模量 E=70GPa,v=0.3.求铝块的三个主应力、 三个主应变。
P
10 10 10
y
x z
解:(1)求主应力及主应变
• 然后,再进行叠加。
正应力分量在不同方向对应的应变
sx
s y
sz
x
1 E
s
x
E
s
y
E
s
z
y
E
s
x
1 E
s
y
E
s
z
z
E
s
x
E
s
y
1 E
s
z
得出 x、y和 z方向的线应变表达式为
x
1 E
sx
(s y
s
z
)
y
1 E
s
y
(s z
s
x
)
z
1 E
sz
(s x
s
y)
根据剪切虎克定律,在 x y、yz和zx三个面内的
2 max
x
y
xy
四、通常采用测定一点处沿εa、εb、 εc三个方向的线应变的方法,来确定该点处 的主应变εl、ε2及其方向。
εa、εb、εc εx、εy、γxy
ε1、ε2
§7.8 广义胡克定律
一、广义胡克定律
1. 单向应力状态的虎克定律
轴向拉伸 sE 或
或压缩时
由于轴向变形还
1s
E
s
sm13(s1s2s3)
称为体积弹性模量
是三个主应力的平均值
体积应变只与平均应力有关,或者说只与三个主应力之 和有关,而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与 平均应力成正比,称为体积虎克定律。
例题:图示直径为d的圆截面轴,承受力偶 矩m的作用。设由实验测得轴表面上与轴线
成-45o方向正应变ε-45o,试求力偶矩m之值。
2.再通过应力状态分析,找到正应力σ-45o (σ45o)和横截面上的剪应力τ的关系。 3.而τ是由外力偶矩引起的,由此即可求出外力
偶矩m的大小。
s s t 解:
405405
45o
1 E
[s
45o
s 45o ]
τ
1 t
E
由此得
t
E
1
4 50
由圆轴扭转应力公式: t T m
Wt Wt
'''
xy
dl sin
2 xy
(x y)s2 in xc y 2 o
xysi2 nxyco2s
22
2
二、应变圆
x 2yx 2yc2 o s2 xy si2 n
xysi2 nxy co 2 s
22
2
(x 2y)2 (2 )2x 2ys2 in (2 x)y
t x'y'
引起横向变形
E
2. 纯剪切应力状态的虎克定律
t G 或
1t
G
3.复杂应力状态的广义 虎克定律
一般情况 下,描述 一点处的 应力状态 需要九个 应力分量
• 在小变形及线弹性范围内,线应变 只与正应力有关,而与剪应力无关;
• 剪应变只与剪应力有关,而与正应 力无关,满足应用叠加原理的条件。
• 所以,我们利用单向应力状态和纯 剪切应力状态的虎克定律,分别求 出各应力分量相对应的应变,
uuV uf
对于图所示的应力状态(只发生体积改变),将平均应力s m 代
入公式,得到单元体的体积改变比能为
s1 s2 64.5MPa
s3 150MPa
对于各向同性材料
一、横向变形与泊松比
x
sx
E
y x sEx
sx
--泊松比
二、三向应力状态的广义胡克定律
-叠加法
s2
1E 1s1s2s3
s 1 2E 1s2s3s1
s3
3E 1s3s1s2
sy
x E 1[sx(sysz)
y z
x
s
y
x
E 1[sy(szsx)
3
1 E
s 3
(s 1
s 2 )
sss ssssss u 2 1 E1 2 2 2 3 3 2(12 23 31 )
二、体积改变比能和形状改变比能 u 对于单元体的应变能 也可认为是由以下两部分组成:①因体
积改变而储存的比能 u V 。称作体积改变比能。②体积不变,只
因形状改变而储存的比能 u f 。称作形状改变比能(或歪形能)
王培荣
2020年4月18日
教学要求 •1.了解三向应力状态的应力圆画法,熟练掌 握单元体最大剪应力计算方法。 •2.掌握广义胡克定律及其应用。 •3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状 改变比能和体积改变比能的一些主要结论和 公式。
§7.5 三向应力状态
三向应力状态特例的一般情形
至少有一个主应力及其主方向已知
2、应变比能(Strain-Energy Density)
ud dW V1 2s11s2d x 2d ysdz33dxdydz 1 2s11s22s33
相关主题