安徽省滁州市2020-2021学年度上学期期末试卷高二（理科）数学考生注意：1、本试卷分为选择题和非选择题。

考试时间：120分钟，满分150分。

2、本卷命题范围：选修2-1、选修2-2第一章。

第I卷选择题(60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是( )A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞52.已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤23.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)及点B(0，a)，过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF等于( )A．60° B．90° C．120° D．150°4.已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为( )A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝2C．x2－2y2＝1 D．2x2－y2＝15.函数f(x)＝sin2x的导数f′(x)等于( )A．2sin x B．2sin2x C．2cos x D．sin 2x6.已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )A． B． C． D．27.已知抛物线C：x2＝16y的焦点为F，准线为l，M是l上一点，P是直线MF与C 的一个交点，若＝3，则|PF|等于( )A． B． C． D．8.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)·f′(x)>0的解集为( )A．(0,2) B．(－∞，0)∪(2,3)C．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．(0,2)∪(3，＋∞)9.已知函数f(x)＝x3－ax2＋4，若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为( )A．(1，＋∞) B．(，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)10.若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)>xf′(x)，则一定有( )A．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为增函数B．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减函数C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数11.设函数f(x)＝ax3－x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]都有f(x)≥0，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，2] B．[0＋∞) C．[0,2] D．[1,2]12.设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点第II卷非选择题(90分)二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．14. 已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.15.已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．16.f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如下图所示．令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的结论：①若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称；②若a＝－1，－2<b<0，则方程g(x)＝0有大于2的实根；③若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有两个实根；④若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根．其中，正确的结论为________．三、解答题(共6小题 ,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.（10分）已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”．若p∨q为真，p为真，求m的取值范围．18. （12分）已知圆G：x2＋y2－x－y＝0，经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m,0)(m＞a)且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．19. （12分）如图，已知椭圆+＝1(a>b>0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左，右焦点F 1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2＝1；(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20. （12分）已知直线y＝2x－2与抛物线x2＝2py(p＞0)交于M1，M2两点，且|M1M2|＝8.(1)求p的值；(2)设A是直线y＝上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y＝于点B，求·的值．21. （12分）设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．22. （12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A AB B D A A D D BC B13.[－2，－1]14.15.16．②17.解对p：∵直线与圆相交，∴d＝<1.∴－＋1<m<＋1.对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，∴令f(x)＝mx2－x＋m－4，∴或解得0<m<4.∵p为真，∴p为假．又∵p∨q为真，∴q为真．故可得＋1≤m<4.故m的取值范围是[＋1,4)．18.解(1)∵圆G：x2＋y2－x－y＝0经过点F，B，∴F(1,0)，B(0，)，∴c＝1，b＝，∴a2＝4，故椭圆的方程为＋＝1.(2)易得直线l的方程为y＝－(x－m)(m＞2)．由消去y，得7x2－8mx＋(4m2－12)＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝[－(x1－m)]·[－(x2－m)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2.∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋1＋m2＝.∵点F在圆E的内部，∴·＜0，即＜0，解得＜m＜.由Δ＝64m2－28(4m2－12)＞0，解得－＜m＜.又m＞2，∴2＜m＜.19.(1)由题意知，椭圆离心率为＝，得a＝c，又2a＋2c＝4(＋1)，所以可得a＝2，c＝2，所以b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1；所以椭圆的焦点坐标为(±2,0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为－＝1.(2)设点P(x0，y0)，则k1＝，k2＝，所以k1·k2＝·＝，又点P(x0，y0)在双曲线上，所以有－＝1，即＝－4，所以k1·k2＝＝1.(3)假设存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立，则由(2)知k1·k2＝1，所以设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，则直线CD的方程为y＝ (x－2)，由方程组消y得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y)，C(x1′，y1′)，D(x2′，y2′)2则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝，同理可得|CD|＝·＝＝，又因为|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|，所以有λ＝＋＝＋＝＝，所以存在常数λ＝，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．20. 解(1)由整理得x2－4px＋4p＝0，设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，则∵|M1M2|＝8，∴＝8，即＝8.∴p2－p－12＝0，解得p＝4或p＝－3(舍去)，且p＝4满足Δ＞0，∴p＝4. (2)由(1)知抛物线方程为x2＝8y，且x1＋x2＝16，x1x2＝16，M1，M2，设M3，A(t,2)，B(a,2)，由A，M 2，M3三点共线得＝，∴＝，即＋x2x3－t(x2＋x3)＝－16，整理得x2x3－t(x2＋x3)＝－16，①同理由B，M3，M1三点共线，可得x1x3－a(x1＋x3)＝－16，②②式两边同乘x2，得x1x2x3－a(x1x2＋x2x3)＝－16x2，即16x3－a(16＋x2x3)＝－16x2，③由①得x2x3＝t(x2＋x3)－16，代入③得16x3－16a－at(x2＋x3)＋16a＝－16x2，即16(x2＋x3)＝at(x2＋x3)，∴at＝16.∴·＝at＋4＝20.21.解(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋，其定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－＝.令f′(x)＝0，得x＝e.当f′(x)<0时，0<x<e；当f′(x)>0时，x>e.故当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2.(2)g(x)＝f′(x)－＝－－＝，其定义域为(0，＋∞)．令g(x)＝0，得m＝－x3＋x.设h(x)＝－x3＋x，其定义域为(0，＋∞)．则g(x)的零点个数为h(x)与y＝m 的交点个数．h′(x)＝－x2＋1＝－(x＋1)(x－1)，故当x＝1时，h(x)取得最大值h(1)＝.作出h(x)的图象，由图象可得，①当m>时，g(x)无零点；②当m＝或m<0时，g(x)有且仅有1个零点；③当0≤m<时，g(x)有两个零点．22.解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3).因为r>0，又由h>0可得0<r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因为V(r)＝(300r－4r3)(0<r<5)，所以V′(r)＝(300－12r2).令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去). 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.。