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1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较
.
解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为:
[]0)(22''=-+
ψψx V E m
(1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成
⎪⎩
⎪⎨⎧≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE
ψβψψψ 无限远处束缚态波函
数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此
2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6）
阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为
()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤⎩⎨
⎧==ψψ奇宇称
偶宇称 （7）
阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ，
将这条件用于式（7），即得
,5,3,,02cos ,6,4,2,02
sin
0000ππππππ====a k a
k a k a
k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为
,3,2,1,
0==n n a k π （9）
即2
22202π
n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果
2
2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。

如果22202π
= a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。

如()
222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。

依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为
其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。

当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为
,3,2,1,212
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n a n m E n π
则0V E ≤的能级数为
120-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=N mV a n π （12）
也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。

注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。

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