练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}ia 展开的（6.1）式中，证明若ψ是归一化的，则1=∑*iii cc ，即A 取各值的概率也是归一化的。

（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。

根据(6.1)式∑=ii ic aψ, ψi i a c =可得1===∑∑*ψψψψi ii i ii a a c c即A 取各值的概率是归一化的。

#练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）(1)证明：在定态中i E i H i = , 3,2,1=i 则()t E i i i i t-=ψ所以i A i e i A e A t E i t E i i i ==-ψψ.即所有物理量的平均值不随时间变化.(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如()()()t E i t E i ex v ex u t x 21,--+=ψ当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：)(]),([)()](,[X f X i P X f P f Pi P f X ∂∂=∂∂=（解答：玉辉 核对：项朋）证明：（1）)()()()()()()()()](,[P f Pi P i P f P i P f P f P i Pi P f P f P i X P f P Xf P f X ∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=-= ψψψψψψψψψ所以 )()](,[P f Pi P f X ∂∂=（2）)()()())(())(()()())(()()(]),([X f Xi X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ∂∂=∂∂--∂∂--∂∂-=∂∂--∂∂-=-= ψψψψψψψψψ所以 )(]),([X f Xi P X f ∂∂=#练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f Pi P X f X ∂∂= 解：不正确。

因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 #练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=⋅=⋅L X ,L P （2）[]0=⋅P X L,（3）()()P X X P P X P X L ⋅-⋅⋅-= i 2222证明： （1）∑∑∑∑===⋅ijkk j i ijk k j jkijkiiiii P X P P X P L P εεL P由于⎪⎩⎪⎨⎧=-==其他情况,,,,,,,032121313213122311231ijk ijk ijkε且k j i P X P ，，是相互对易的，所以0＝∑=⋅ijkk j i ijkP X P εL P∑∑∑∑===⋅ijkk j i ijk k j jkijk ii ii i P X X P X X L X εεL X ，同上面的过程可以得到0=⋅L X（2）先计算：[][]l l k j jkijk l jkll l k j ijk i P X P X P X P X L ,,P X ,∑∑∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅εε由于[]ij j i i P X δ =,。

将上式展开可以得到：[]0=⋅P X ,i L ，再利用相同的道理可以推出：[]0=⋅P X L,（3）证明：23232223212323222222212223212221212123222123222122p x p x p x p x p x p x p x p x p x p p p x x x P X ++++++++=++++=))(()())((323322331133332222221122331122111211x p x x p p x x p p x x p p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x X P P X ++++++++=)(33221122p x p x p x i P X i ++=1212211212212121313113313113131323233223233232322p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x L +--++--++--=利用公式ij j i i p x δ =],[2332211332211332211232332332222222221211211332211323322221211232322222121222=+++---=+++-+-+-=++++++---=++-)()()()()(())((p x p x p x i p x i p x i p x i p x p x p x i p x x p x p x x p x p x x p x p x p x p x i x p x x p x x p x p x p x p x PX i X P P X P X L即得证！#6.6 试仿照w p x )(3的计算方法，计算w xp )(和w p x )(22。

（高召习）解：由Weyle 规则，将物理量的经典式A(x ，p)写成ηξ和为变量的傅里叶积分ηηξξηξd e a A(x,p)pi x i +∞∞-∞∞-⎰⎰=),(d （1）将积分中指数上的x 和p 改为对应的算符X 和P 。

所得结果即为与A(x ，p)对应的算符式A （X ，P ）ηηξξηξd e a d A(X,P)P i X i ⎰⎰∞∞-+∞∞-=),( （2）首先计算（1）式中A(x ，p)的傅里叶变换),(ηξA ,取A(x ，p)为mn p x ，则有dp e p x A dx a pi x i ⎰⎰∞∞-∞∞---=ηξπηξ),()(),(221 （3） 对于mnp x 有)()()()(),(ηδηξδξηξππηξηξηξmnpi mx i np i x i m n i i dxdp e i e i dxdp e p x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==----⎰⎰⎰⎰222121 (4) 对于xp ，n=1,m=1,将此式代入（2）得)()()()()()()()()(),(PX XP i XP d i x XP e d P e i d d ee e i i d d e i i xp P X x i x i i p i x i pi x i w +=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰⎰+2121212121A 21ξξξδξξξξδηξηδηξδξηξηδηξδξξξξηηξηξ即)(21 =PX XP (xp)w +对于22p x ，n=2，m=2，将此式代入（2）得)(])([)()()()()()(),(222222222122222261X P PXPX P PX X XP XPXP P X d d e e i e i d d e e e i i d d e i i p x P X A p i x i x i i p i x i pi x i w +++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ξηηηδξξδηξηδηξδξηξηδηξδξηξξξηηξηξ即)()(2222222261X P PXPX P PX X XP XPXP P X p x w +++++= #练习6.7 证明)(p x m n W的一般公式：)21()()(=+∂∂-=ξξξ P i X p x mnWm n并利用此式计算)(p x mnW。

（解答：田军龙 审核：邱鸿广）证明：ηξηδξδηξηξd d mnei i p x Pi X i mnW+∂∂⎰⎰∂∂=)()()()()(ηξηδξδξηηξηξd d ee ei i i Pi Xi mn 21)()()()(∂∂⎰⎰∂∂=ξηηδξδξηηξηξd de e i e ii P i mX i nmn ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎰∂∂∂∂⎰-+)()()(21)()()1( ξξδξξξd Pe i mXi nmn ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--∂∂⎰-+)21()()1()( ξξδξξξd X i i P e n m m n ⎰∂∂---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+)()()21()1(ξξδξξξd P e i m X i n n ⎰+∂∂-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)21()()1()( 0)21()(=+∂∂=ξξξξ P e i mXi n)21()(=+∂∂-=ξξξ P i X mn)(81)(22222222222323XPX X XP PX X XP X PXPXPX PX P XX P XP PXP W +++++++=#练习6.8 （梁端） 解：()()n nBnPX P X px +=21 因为： []0,=P X所以： ()P X px n Bn=欲求： ()wnpx 则：()()⎰⎰--=dxdp pe x a p i x i n ηξπηξ221, =()dxdp e i e i p i x i nηξηξπ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰⎰221=()()ηδηξδξ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂i i n所以： ()()()()ηξηδηξδξηξd d ei i P X px Pi X i nwn+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=A =⎰⎰, =()()ηξηδηξδξηξd d e e i i P i X i n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰⎰=()()()ξηηηδξξδηξd d e i e i P i X i n⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎰⎰21 =()()[]ξξξδξd e P i Xi n-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰因为： []0,=P X ()()[]P X P X n n px n n wn=++=111故： 在条件[]0,=P X 下()()wnBnp x px =#练习6.9 一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量f 的算符对应的平方，应当与经典2f 的对应相同。