专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案部分 2019年1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲乙． 乙：丙乙且丙甲． 丙：丙乙．因为只有一个人预测正确，如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意． 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲，因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确， 所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意． 所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 甲乙，乙丙． 故选A ．2010-2018年1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 4．A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．5．B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．6．A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．7．D 【解析】∵553125=，6515625=，7578125=，85390625=，951953125=，1059765625=，⋅⋅⋅，∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n ， 则(2011)(50147)f f =⨯+(7)f =，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选D ．8．D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D 。

9．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．10．6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为,,a b c ，则2,,,c a b c a b c >>>∈N①84a b >>>，所以max 6b =，②当min 1c =时，21a b >>>，a ，b ∈N ，a ，b 不存在，不符合题意； 当min 2c =时，42a b >>>，a ，b ∈N ，a ，b 不存在，不符合题意； 当min 3c =时，63a b >>>，此时5a =，4b =，满足题意． 所以12a b c ++=．11．()413n n ⨯⨯+【解析】通过归纳可得结果为4(1)3n n +．12．②③【解析】对于①，令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '，而11(,)22P '的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故错误；对于②设(,)P x y 是单位圆22:1C x y +=上的点，其“伴随点”为(,)P x y '''，则有2222y x x y x y x y ⎧'=⎪+⎪⎨-⎪'=⎪+⎩，所以22222222221()()1y x x y x y x y x y -''+=+==+++，所以②正确；对于③设(,)P x y 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-'++，1(,)P x y -的“伴随点” 为12222(,)y x P x y x y --'++，易知2222(,)y x P x y x y -'++与12222(,)y xP x y x y --'++关于y 轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为0Ax By C ++=，其中,A B 不同时为0，且00(,)P x y 为该直线上一点，00(,)P x y 的“伴随点”为(,)P x y '''，其中,P P '都不是原点，且0220002200y x x y x y x y ⎧'=⎪+⎪⎨-⎪'=⎪+⎩，则22000()x x y y '=-+，22000()y x y x '=+，将00(,)P x y 代入原直线方程，得22220000()()0A x y y B x y x C ''++++=，则22000C Ay Bx x y ''-++=+，由于2200x y +的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误．13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的 卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A ． 14．111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++． 【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++．15．14【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =1122,AB AC a AA a =====，1231A A a ==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ==⨯=．解法二 求通向：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以1122,AB AC a AA a =====⋅⋅⋅，11sin2(422n n n n n n A A a a a π-+==⋅==⨯，故6722a =⨯=1416．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6．17．42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ，6天后，师傅开始精加工原料B ，徒弟同时开始粗加工原料A ，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A 完成，此时师傅还在精加工原料B ，27天后，师傅精加工原料B 完成，然后接着精加工原料A ，再15天后，师傅精加工原料A 完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．18．12014x x +【解析】由1()1x f x x =+，得2()()112x xf x f x x==++， 可得32()(())13x f x f f x x ==+，故可归纳得2014()12014xf x x=+．19．2F V E +-=【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得2F V E +-=．20．12－22+32－42+…+1(1)n +-n 2=1(1)n +-·(1)2n n +（n ∈*N ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(1)n-·(1)2n n +，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+12(1)n n +-=1(1)n +-·(1)2n n +（n ∈*N ）． 21．1000【解析】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴=22．6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=222111123(1)n +++⋅⋅⋅++，右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为 6116151413121122222<+++++． 23．（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N =16时，012345616P x x x x x x x =L ，可设为(1,2,3,4,5,6,,16)L ，113571524616P x x x x x x x x x =L L ，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)L L ， 2159133711152616P x x x x x x x x x x x =L ，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)L ，7x 位于2P 中的第6个位置；（2）在1P 中173x 位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在2P 中173x 位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得3P 时，173x 位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，173x 位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于4P 中的第43211n -⨯+个位置上．24． 2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 …… …… ……所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=-L ， 即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L25．0,1123n n n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得n T =0,1123nn n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时 26．962【解析】观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故1284512m =⨯=．取0α=，则cos 1α=，cos101α=，代入等式⑤得1512128011201n p =-+++-，即350n p +=-（1）取3πα=，则1cos 2α=，1cos102α=-，代入等式⑤得108642111111512()1280()1120()()()1222222n p -=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯- 即4200n p +=-（2）联立（1）（2）得，400,50n p =-=，所以m n p -+=512(400)50962--+=． 27．【解析】(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2)对一般的n (4)n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ⋅⋅⋅，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12n ⋅⋅⋅中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当5n ≥时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，5n ≥时，(2)n f =222n n --．28．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．29．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>． 因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．。